Научный журнал
Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований

ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,570

О ГРУППАХ И АЛГЕБРАХ НЕГАМИЛЬТОНОВЫХ КВАТЕРНИОНОВ, ПЯТИМЕРНЫХ ВЕКТОРОВ ВРАЩЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ОРИЕНТАЦИИ

Панов А.П. 1 Цисарж В.В. 2 Конашков А.И. 3
1 Международная академия навигации и управления движением
2 ГП НИИ РС «Квант-Радиолокация»
3 Компания «Energiia»
1.Бранец В.Н., Шмыглаевский И.П. Применение кватернионов в задачах ориентации твёрдого тела. – М.: Наука, 1973. – 319с.
2.ПановА.П. Математические основы теории инерциальной ориентации. – Киев, Наукова думка, 1995. – 279с.
3.Журавлёв В.Ф. Основы теоретической механики. – М.: Физматлит, 2008. – 304с.
4.ПановА.П. О новых ненормированных кватернионах вращения твёрдого тела.//Вопросы аналитической механики и её применений// Труды института математики НАН Украины. – Т.26. – 1999. – С. 300-329.
5.ПановА.П., Цисарж В.В., Аксенов В.В. О новых кватернионных методах решения задач ориентации, навигации и управления для бесплатформенных инерциальных систем.// VII Санкт-Петербургская Международная конференция по интегрированным навигационным системам: Тез. докл. СПб. 2000. С. 115–117.
6.ПановА.П. Группы вращений и их алгебры Ли в задачах ориентации твёрдого тела// Кибернетика и вычислительная техника. 1993. Вып. 99. С. 8-17.
7.ПановА.П., Копытко И.М. О группах ненормированных кватернионов твёрдого тела// Украинский математический конгресс. 2001. Вычислительная математика, математические проблемы механики. Секция В. Институт математики НАН Украины. – Киев, 2001. С. 30-40.
8.Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. – М.: Физматлит, 2008. – 390с.
9.Кантор И.Л., Солодовников А.С. Гиперкомплексные числа. – М.: Наука, 1973. – 143с.
10.Переляев С.Е. О глобальных параметризациях группы трёхмерных вращений// Известия РАН. Механика твёрдого тела. 2006. №3. С 30–44.
11.Panov A.P., Tsisarzh V.V. On application of exceptional non-normalized quaternions, five-dimensional rotation vectors and their algebras in problems of inertial orientation.// 2-nd International Conference «Methods and Systems of Navigation and Motion Control». Proceeding. Kiev. – 2012. P. 143– 146.
12.http://ieeexplore.ieee.org/ie17/.../06475113.pdf.

1.Рассматриваются два типа новых ненормированных негамильтоновых «исключительных» кватернионов вращения твёрдого тела (ТТ): panov001.wmf, где u0= 1– l0, v0= 1+ l0; l0= cos(ϕ/2), panov002.wmf; panov003.wmf – орт эйлеровой оси конечного вращения (поворота) ТТ в трёхмерном векторномевклидовом пространстве [1-3]; ϕ – угол вращения. Параметр l0и координаты ln (n = 1, 2, 3) трёхмерного вектора panov004.wmf (в связанном с ТТ координатном ортонормированном базисе) – это параметры Эйлера или Родрига–Гамильтона [1-4]. Они определяют классический гамильтонов кватернион вращения [1, 3] panov005.wmf.

В отличие от кватернионов Λ ненормированные негамильтоновы кватернионы U, V могут быть нулевыми (при ϕ = 0и ϕ=2π соответственно) и их модули зависят от угла ϕ. Поэтому они представляют особый практический интерес для решения двух основных задач [1,2]: инерциального определения ориентации ТТ и инерциального управления ориентацией ТТ при условии обеспечения кратчайших разворотов (при углах ϕ < π и ϕ > π).

Кватернионы U, V относятся к исключительным (из множества ненормированных негамильтоновых кватернионов вращения [1, 4, 5]) в связи с тем, что эти кватернионы и соответствующие им кинематические дифференциальные уравнения, групповые формулы умножения и кватернионные алгебры вращений обладают целым рядом особых свойств.

Например, кватернионы U, V кроме свойства обращения в нулевые кватернионы имеют общий вектор, а их нормы равны удвоенным скалярным частям:

panov006.wmf

где panov007.wmf.

Кроме того:

u0+ v0=2; u0v0= l2= panov008.wmf; panov009.wmf, panov010.wmf.

2.Кинематические дифференциальные уравнения для «собственных» кватернионов U, V линейны, но неоднородны в отличие от нелинейных уравнений других многочисленных ненормированных кватернионов [4].

Эти уравнения получаются из кинематического уравнения для кватерниона Λ [1] в результате замены переменной l0на переменные u0и v0и имеют вид:

panov011.wmf

где panov012.wmf – кватернион угловой скорости; panov013.wmf – вектор абсолютной угловой скорости вращения.

3.Формулы (правила) умножения собственных [1, 2] ненормированных кватернионов U, V получаются из классических (групповых) формул умножения собственных нормированных кватернионов Λ путём замены кватерниона Λ на кватернионы U, V по формулам: panov014.wmf, где panov015.wmf – единичный кватернион.

Для двух последовательных конечных вращений (поворотов) ТТ групповые формулы умножения нормированных Λ и ненормированных U, V кватернионов записываются в виде: panov017.wmf panov018.wmf; panov019.wmf, panov020.wmfгде Λ, U, V – кватернионы результирующего вращения; Λ’, U’, V’ – кватернионы 1-го вращения; Λ*, U*, V* – кватернионы 2-го вращения; panov021.wmf – знак группового (негамильтонового) умножения [4] ненормированных кватернионов.

Именно формулы умножения кватернионов U, V определяют их название «негамильтоновы кватернионы».

Из этих формул следуют равенства: panov022.wmf, где panov023.wmf – нулевой кватернион; panov024.wmf – нулевой вектор.

Эти равенства показывают, что единичными элементами в группах [7] кватернионов U, V являются нулевые кватернионы и обратные кватернионы

U-1,V-1равны сопряжённым panov025.wmf, которые можно только «формально» рассматривать как «групповые» делители нуля.

Множества кватернионов Λ, U, V образуют группы [6, 7] кватернионов вращений ТТ или кватернионные группы трёхмерных вращений с приведенными групповыми формулами умножения. Эти формулы (как алгебраические уравнения) однозначно решаются относительно сомножителей Λ’, U’, V’ или Λ*, U*, V* по формулам «деления» кватернионов:

panov026.wmf

4.Пространства ненормированных кватернионов U, V вместе с формулами их умножения определяют новые действительные ассоциативные, некоммутативные и ненормированные групповые кватернионные алгебры вращений с делением [10].

Они существенно отличаются от алгебр других ненормированных кватернионов вращений [4,5], имеющих более сложные формулы группового умножения.

В этих алгебрах кватернионы U, V образуют четырёхмерные евклидовы пространства, тогда как гамильтоновы кватернионы вращения Λ векторного пространства не образуют, т.к. не имеют нулевых кватернионов.

5.На основе нормированных Λ и ненормированных U, V кватернионов вращения получаются пятимерные векторы вращения вида: panov027.wmf, где panov028.wmf – трёхмерный вектор panov029.wmf в кватернионах Λ, U, V; р0, р4– два любых скалярных параметра из трёх: u0, v0, l0; panov030.wmf – орты некоторого пятимерного ортонормированного координатного базиса; р0, l1, l2, l3, р4– координаты рm (m = 0, 1, 2, 3, 4) вектора panov031.wmf.

Векторы panov031.wmf – это элементы пятимерного векторного евклидова пространства над полем вещественных чисел [3]. Это пространство превращается в пятимерную векторную алгебру вращений после введения в нём операции (*) группового умножения двух пятимерных произвольных векторов panov033.wmf, ставящей им в соответствие третий вектор panov031.wmf, т.е. операции panov035.wmf.

Операции умножения (и деления) в пятимерных групповых алгебрах вращений определяются сочетаниями групповых формул умножения (и деления) параметров кватернионов Λ, U, V.

В результате получаются действительные, ассоциативные и некоммутативные пятимерные групповые векторные алгебры вращений с однозначным делением и без делителя нуля [8], поскольку векторы panov031.wmf не могут быть нулевыми.

Система кинематических дифференциальных уравнений для параметров u0, ln, v0, например, линейна и имеет в скалярно-векторной записи вид:

panov037.wmf

6.Из пятимерных векторов panov031.wmf вращений получаются (по аналогии с кватернионами) гиперкомплексные [9] пятимерные системы – пентанионы вращений ТТ. Они записываются в виде: panov039.wmf, Ppanov041.wmf, где р0– скалярная часть пентаниона; panov042.wmf– векторная часть; Рm – параметры.

Норма panov043.wmf пентаниона определяется скалярным произведением:

panov044.wmf.

7.На основе пентанионов вращений осуществляется новая пятимерная параметризация трёхмерной группы вращений. Эта параметризация существенно отличается по своим свойствам от известной пятимерной параметризации Хопфа [10] прежде всего линейностью кинематических дифференциальных уравнений.


Библиографическая ссылка

Панов А.П., Цисарж В.В., Конашков А.И. О ГРУППАХ И АЛГЕБРАХ НЕГАМИЛЬТОНОВЫХ КВАТЕРНИОНОВ, ПЯТИМЕРНЫХ ВЕКТОРОВ ВРАЩЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ОРИЕНТАЦИИ // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2013. – № 10-1. – С. 82-84;
URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=4061 (дата обращения: 15.11.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074