Научный журнал

Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований

ISSN 1996-3955

ИФ РИНЦ = 0,593

• Авторы
• Файлы
• Литература

Алдашев С.А. 1 Жантлеуов К.К. 1

---

1 Казакский национальный педагогический университет им. Абая

Статья в формате PDF

1633 KB

1. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. – М.: Наука, 1981. – 448 с.

2. Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. – М.: Изд. АН СССР, 1959. – С. 164.

3. Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. – М.: Наука, 1977. – С. 448.

4. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. – М.: Высшая школа, 1995. – С. 301.

5. Алдашев С.А., Таскалиев А.К. Краевые задачи с отходом от характеристики для линейных гиперболических уравнений второго порядка // Проблемы дифференциальных уравнений, анализа и алгебры: мат-лы IV Межд. научн. конф. (Актобе, АГУ Казахстан, 18-21 окт. 2006 г). – Актобе, 2009. – С. 36–41.

В работе для линейных гиперболических уравнений в области с отходом от характеристики доказаны корректности задач Дирихле и Пуанкаре.

В теории уравнений частных производных гиперболического типа краевые задачи с данными на всей границе области служат примером некорректно поставленных задач [1]. В данной работе для линейных гиперболических уравнений в области с отходом от характеристики доказаны корректности задач Дирихле и Пуанкаре.

п.1. Постановка задач и результаты. Пусть D ⊂ R2 – конечная область, ограниченная отрезком АВ: 0 ≤ x ≤ 1 оси y = 0, а при y > 0 – гладкой кривой АС: y = γ(x) < x, вдоль которой 0 < γ′(x) < 1 и прямой ВС: y = 1 – x.

В области D рассмотрим уравнение

(1)

В качестве задачи Дирихле и Пуанкаре рассмотрим следующие задачи

Задача 1. Найти в области D решение уравнения (1) из класса удовлетворяющее краевым условиям

(2)

или

(3)

где

В характеристических координатах ξ = x + y, η = x – y уравнение (1) записывается следующим образом

(4)

При этом краевые условия (2) и (3) соответственно имеют вид

(5)

или

(6)

,

где , а функция ξ = α(η) является решением уравнения при этом , 0 < η < 1, а также

Пусть, в случае задачи (4), (5), выполняется условие

(7)

а в случае задачи (4), (6) имеет место

(8)

Тогда справедлива

Теорема 1. Задача 1 однозначно разрешима.

п. 2. Доказательство теоремы 1. Сначала рассмотрим задачу (4), (5). Используя общее решение уравнения (4) [2], нетрудно показать, что решение задачи Коши для уравнения (4) представимо в виде

(9)

где R(ξ1, η1, ξ, η) – функция Римана уравнения (6), а

Из (8), при и ξ = α(η), используя краевое условие (5), получим интегральные уравнения первого рода

0 ≤ η ≤ η0,

где

которые дифференцированием сводятся, соответственно, к следующему интегральному уравнению Вольтерра второго рода

(10)

и функционально-интегральному уравнению

(11)

В [3] показано, что, если

(12)

то функциональное уравнение (11) имеет единственное решение вида

(13)

Из определения функции Римана R [2,4], формула (12) записывается в виде (7), а (13) – в следующем виде

(14)

Известно, что функция Римана R по переменным ξ1, η1 и ξ, η имеет такую же гладкость, что и коэффициенты уравнения (4) [4], поэтому ядро G(ξ, ξ1) допускает оценку

(15)

Решение интегрального уравнения (15) будем искать в виде ряда

(16)

ν0(η) = g(η);

k = 1, 2, ... .

Из (15) получим следующие оценки

и вообще .

Тогда, для ряда (16) будем иметь

Таким образом, интегральное уравнение (14), (а также (11)), при выполнении условия (7), однозначно разрешимо.

Следовательно, задача (4), (5) имеет единственное решение вида (8), в котором ν(η) находятся из уравнений (10) и (14).

Теорема 1 для задачи (1), (2) доказана.

Теперь рассмотрим задачу (1), (3), которая переходит к задаче (4), (6). В этом случае, из (8), при и ξ = α(η), с учетом (6), получим следующее интегральное уравнение Вольтерра второго рода

(17)

и функционально – интегральное уравнение

0 ≤ η ≤ η0, (18)

где

Если выполняется условие

или, это тоже самое, условие (8), то функциональное уравнение (18) имеет единственное решение вида

0 ≤ η ≤ η0, (19)

при этом

Решение интегрального уравнения (19) будем искать в виде ряда для которого имеет место неравенство

Таким образом, интегральное уравнение (19) (а также (18)), при выполнении условия (8), однозначно разрешимо.

Следовательно, задача (4), (6) имеет единственное решение вида (9), в котором τ(ξ) определяются из уравнений (17) и (19).

Отметим, что, если A(x, y) = B(x, y) ≡ 0, то условие (8) не выполняется. В этом случае уравнение (18) имеет вид

(20)

Так как интегральный оператор, стоящий в правой части равенства (20), вполне непрерывен, то, как показано в [3], функциональное уравнение (20) имеет единственное решение.

Таким образом, и в этом случае задача (4), (6) однозначно разрешима.

Теорема 1 для задачи (1), (3) доказана.

Отметим, что краевые задачи с отходом от характеристики для уравнения (1) изучены в [5].

Библиографическая ссылка