Научный журнал
Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований

ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,580

ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ И ПУАНКАРЕ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ НА ПЛОСКОСТИ

Алдашев С.А. 1 Жантлеуов К.К. 1
1 Казакский национальный педагогический университет им. Абая
1. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. – М.: Наука, 1981. – 448 с.
2. Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. – М.: Изд. АН СССР, 1959. – С. 164.
3. Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. – М.: Наука, 1977. – С. 448.
4. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. – М.: Высшая школа, 1995. – С. 301.
5. Алдашев С.А., Таскалиев А.К. Краевые задачи с отходом от характеристики для линейных гиперболических уравнений второго порядка // Проблемы дифференциальных уравнений, анализа и алгебры: мат-лы IV Межд. научн. конф. (Актобе, АГУ Казахстан, 18-21 окт. 2006 г). – Актобе, 2009. – С. 36–41.

В работе для линейных гиперболических уравнений в области с отходом от характеристики доказаны корректности задач Дирихле и Пуанкаре.

В теории уравнений частных производных гиперболического типа краевые задачи с данными на всей границе области служат примером некорректно поставленных задач [1]. В данной работе для линейных гиперболических уравнений в области с отходом от характеристики доказаны корректности задач Дирихле и Пуанкаре.

п.1. Постановка задач и результаты. Пусть D ⊂ R2 – конечная область, ограниченная отрезком АВ: 0 ≤ x ≤ 1 оси y = 0, а при y > 0 – гладкой кривой АС: y = γ(x) < x, вдоль которой 0 < γ′(x) < 1 и прямой ВС: y = 1 – x.

В области D рассмотрим уравнение

Eqn1.wmf (1)

Eqn2.wmf

В качестве задачи Дирихле и Пуанкаре рассмотрим следующие задачи

Задача 1. Найти в области D решение уравнения (1) из класса Eqn3.wmf удовлетворяющее краевым условиям

Eqn4.wmf Eqn5.wmf Eqn6.wmf (2)

или

Eqn7.wmf Eqn8.wmf Eqn9.wmf (3)

где

Eqn10.wmf

В характеристических координатах ξ = x + y, η = x – y уравнение (1) записывается следующим образом

Eqn11.wmf (4)

Eqn12.wmf Eqn13.wmf

Eqn14.wmf

При этом краевые условия (2) и (3) соответственно имеют вид

Eqn15.wmf Eqn16.wmf

Eqn17.wmf Eqn18.wmf (5)

Eqn19.wmf Eqn20.wmf

или

Eqn21.wmf Eqn16.wmf

Eqn17.wmf Eqn18.wmf (6)

Eqn19.wmf Eqn20.wmf,

где Eqn22.wmf Eqn23.wmf, а функция ξ = α(η) является решением уравнения Eqn24.wmf при этом Eqn25.wmf, 0 < η < 1, а также Eqn26.wmf

Пусть, в случае задачи (4), (5), выполняется условие

Eqn27.wmf (7)

Eqn28.wmf

Eqn29.wmf

а в случае задачи (4), (6) имеет место

Eqn30.wmf (8)

Тогда справедлива

Теорема 1. Задача 1 однозначно разрешима.

п. 2. Доказательство теоремы 1. Сначала рассмотрим задачу (4), (5). Используя общее решение уравнения (4) [2], нетрудно показать, что решение задачи Коши для уравнения (4) представимо в виде

Eqn31.wmf (9)

где R(ξ1, η1, ξ, η) – функция Римана уравнения (6), а

Eqn32.wmf

Из (8), при Eqn33.wmf и ξ = α(η), используя краевое условие (5), получим интегральные уравнения первого рода

Eqn34.wmf Eqn35.wmf

Eqn36.wmf 0 ≤ η ≤ η0,

где

Eqn37.wmf

Eqn38.wmf

которые дифференцированием сводятся, соответственно, к следующему интегральному уравнению Вольтерра второго рода

Eqn39.wmf (10)

и функционально-интегральному уравнению

Eqn40.wmf (11)

Eqn41.wmf

Eqn42.wmf

Eqn43.wmf

Eqn44.wmf

Eqn45.wmf

В [3] показано, что, если

Eqn46.wmf (12)

то функциональное уравнение (11) имеет единственное решение вида

Eqn47.wmf (13)

Из определения функции Римана R [2,4], формула (12) записывается в виде (7), а (13) – в следующем виде

Eqn48.wmf (14)

Eqn49.wmf

Eqn50.wmf

Известно, что функция Римана R по переменным ξ1, η1 и ξ, η имеет такую же гладкость, что и коэффициенты уравнения (4) [4], поэтому ядро G(ξ, ξ1) допускает оценку

Eqn51.wmf (15)

Решение интегрального уравнения (15) будем искать в виде ряда

Eqn52.wmf (16)

ν0(η) = g(η);

Eqn53.wmf k = 1, 2, ... .

Из (15) получим следующие оценки

Eqn54.wmf Eqn55.wmf

Eqn56.wmf

и вообще Eqn57.wmf.

Тогда, для ряда (16) будем иметь

Eqn58.wmf

Таким образом, интегральное уравнение (14), (а также (11)), при выполнении условия (7), однозначно разрешимо.

Следовательно, задача (4), (5) имеет единственное решение вида (8), в котором ν(η) находятся из уравнений (10) и (14).

Теорема 1 для задачи (1), (2) доказана.

Теперь рассмотрим задачу (1), (3), которая переходит к задаче (4), (6). В этом случае, из (8), при Eqn59.wmf и ξ = α(η), с учетом (6), получим следующее интегральное уравнение Вольтерра второго рода

Eqn60.wmf

Eqn35.wmf (17)

и функционально – интегральное уравнение

Eqn61.wmf

0 ≤ η ≤ η0, (18)

где

Eqn62.wmf

Eqn63.wmf

Eqn64.wmf

Eqn65.wmf

Eqn66.wmf

Eqn67.wmf

Eqn68.wmf

Если выполняется условие

Eqn69.wmf

или, это тоже самое, условие (8), то функциональное уравнение (18) имеет единственное решение вида

Eqn70.wmf

0 ≤ η ≤ η0, (19)

Eqn71.wmf

Eqn72.wmf

при этом

Eqn73.wmf Eqn74.wmf

Решение интегрального уравнения (19) будем искать в виде ряда Eqn75.wmf для которого имеет место неравенство Eqn76.wmf

Таким образом, интегральное уравнение (19) (а также (18)), при выполнении условия (8), однозначно разрешимо.

Следовательно, задача (4), (6) имеет единственное решение вида (9), в котором τ(ξ) определяются из уравнений (17) и (19).

Отметим, что, если A(x, y) = B(x, y) ≡ 0, то условие (8) не выполняется. В этом случае уравнение (18) имеет вид

Eqn77.wmf (20)

Eqn78.wmf

Так как интегральный оператор, стоящий в правой части равенства (20), вполне непрерывен, то, как показано в [3], функциональное уравнение (20) имеет единственное решение.

Таким образом, и в этом случае задача (4), (6) однозначно разрешима.

Теорема 1 для задачи (1), (3) доказана.

Отметим, что краевые задачи с отходом от характеристики для уравнения (1) изучены в [5].


Библиографическая ссылка

Алдашев С.А., Жантлеуов К.К. ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ И ПУАНКАРЕ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ НА ПЛОСКОСТИ // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2013. – № 11-1. – С. 40-44;
URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=4307 (дата обращения: 21.09.2020).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074