Научный журнал
Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований

ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,580

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ С ОТХОДОМ ОТ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ НА ПЛОСКОСТИ

Алдашев С.А. 1 Жантлеуов К.К. 1
1 Казахский национальный педагогический университет им. Абая
1. Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. – М.: Изд. АН СССР, 1959. – 164 с.
2. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. – М.: Наука, 1981. – 448 с.
3. Алдашев С.А. Краевые задачи для многомерных гиперболических и смешанных уравнений. – Алматы: Ғылым, 1994. – 170 с.
4. Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. – М.: Наука 1977. – 448 с.
5. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. – М.: Высшая школа, 1995. – 301 с.

В работе для линейных гиперболических уравнений в области с отходом от характеристики доказаны корректности задач Дирихле и Пуанкаре.

В теории уравнений частных производных гиперболического типа краевые задачи с данными на всей границе области служат примером некорректно поставленных задач [1, 2]. В данной работе для линейных гиперболических уравнений, в области с отходом от характеристики, доказаны корректности задач Дирихле и Пуанкаре.

п. 1. Постановка задач и результаты. Рассмотрим линейное гиперболическое уравнение

uxx – uyy + A(x, y)ux + B(x, y)uy + C(x, y)u = 0. (1)

Пусть AC: y = x, BC: y = 1 – x характеристики уравнения (1), а AB – отрезок 0 ≤ x ≤ 1 прямой y = 0.

Пусть далее D ⊂ R2 – конечная область, ограниченная отрезком АВ и при y > 0 – гладкой кривой Г: y = γ(x) расположенная внутри характеристического треугольника ABC, γ(0) = γ(1) = 0.

В качестве задачи Дирихле и Пуанкаре рассмотрим следующие задачи

Задача 1. Найти в области D решение уравнения (1) из класса Eqn79.wmf удовлетворяющее краевым условиям

Eqn80.wmf Eqn81.wmf (2)

или

Eqn82.wmf Eqn81.wmf, (3)

где

Eqn83.wmf

В характеристических координатах ξ = x + y, η = x – y уравнение (1) записывается следующим образом

Eqn84.wmf (4)

Eqn85.wmf

При этом краевые условия (2) и (3) соответственно имеют вид

u(η, η) = τ(η), u(α(η), η) = g(η), 0 ≤ η ≤ 1, (5)

или

Eqn86.wmf Eqn87.wmf

u(α(η), η) = g(η), 0 ≤ η ≤ 1, (6)

где Eqn88.wmf а функция ξ = α(η) является решением уравнения Eqn89.wmf при этом

Eqn90.wmf

Eqn91.wmf, 0 ≤ x ≤ 1.

Пусть, в случае задачи (4), (5), выполняется условие

Eqn92.wmf (7)

Eqn93.wmf

Eqn94.wmf

а в случае задачи (4), (6) имеет место

Eqn95.wmf (8)

Тогда справедлива

Теорема. Задача 1 однозначно разрешима.

п. 2. Доказательство теоремы. Сначала рассмотрим задачу (4), (5). Используя общее решение уравнения (4) [1] в [3] показано, что решение задачи Коши для уравнения (4) представимо в виде

Eqn31.wmf (9)

где R(ξ1, η1, ξ, η) – функция Римана уравнения (6), а

Eqn32.wmf

Из (9), при ξ = α(η), используя краевое условие (5), получим интегральные уравнения первого рода

Eqn96.wmf 0 ≤ η ≤ 1,

где

Eqn38.wmf

кoторая дифференцированием сводятся к следующему функционально-интегральному уравнению

a1(η)ν(η) + b1(η)ν(α(η)) = μ(η), 0 ≤ η ≤ 1 (10)

Eqn43.wmf

Eqn97.wmf

В [4] показано, что, если

Eqn98.wmf (11)

то функциональное уравнение (11) имеет единственное решение вида

Eqn47.wmf (12)

Из определения функции Римана R [1, 5], формула (11) записывается в виде (7), а (12) – в следующем виде

Eqn49.wmf (13)

Eqn99.wmf

Известно, что функция Римана R по переменным ξ1, η1 и ξ, η имеет такую же гладкость, что и коэффициенты уравнения (4) [5], поэтому ядро G(ξ, ξ1) допускает оценку

Eqn51.wmf (14)

Решение интегрального уравнения (13) будем искать в виде ряда

Eqn52.wmf (15)

ν0(η) = g(η);

Eqn53.wmf k = 1, 2, ... .

Из (14) получим следующие оценки

Eqn100.wmf Eqn55.wmf

Eqn56.wmf

и вообще Eqn101.wmf

Тогда, для ряда (15) будем иметь

Eqn102.wmf

Таким образом, интегральное уравнение (13), (а также (10)), при выполнении условия (7), однозначно разрешимо.

Следовательно, задача (4), (5) имеет единственное решение вида (9), в котором ν(η) находятся из уравнения (13)

Теорема для задачи (1), (2) доказано.

Теперь рассмотрим задачу (1), (3), которая переходит к задаче (4), (6). В этом случае, из (9) при ξ = α(η), с учетом (6), получим следующее функционально-интегральное уравнение

a2(η)τ(η) + b2(η)τ(α(η)) = χ(η), 0 ≤ η ≤ 1, (16)

где

Eqn103.wmf

Eqn104.wmf

Eqn105.wmf

Eqn106.wmf

Eqn68.wmf

Если выполняется условие

Eqn107.wmf

или это тоже, самое условие (8), то функциональное уравнение (16) имеет единственное решение вида

Eqn108.wmf

0 ≤ η ≤ 1, (17)

Eqn109.wmf

Eqn110.wmf

при этом Eqn111.wmf Eqn74.wmf

Решение интегрального уравнения (17) будем искать в виде ряда

Eqn75.wmf

для которого имеет место неравенство

Eqn112.wmf

Таким образом, интегральное уравнение (17) (а также (16)), при выполнении условия (8), однозначно разрешимо.

Следовательно, задача (4), (6) имеет единственное решение вида (9), в которой τ(ξ) определяются из уравнений (17).

Отметим, что, если A(x, y) = B(x, y) ≡ 0, то условие (8) не выполняется. В этом случае уравнение (16) имеет вид

Eqn77.wmf (18)

Eqn78.wmf

Так как интегральный оператор, стоящий в правой части равенства (18), вполне непрерывен, то, как показано в [4], функциональное уравнение (18) имеет единственное решение.

Таким образом, и в этом случае задача (4), (6) однозначно разрешима.

Теорема для задачи (1), (3) доказана.


Библиографическая ссылка

Алдашев С.А., Жантлеуов К.К. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ С ОТХОДОМ ОТ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ НА ПЛОСКОСТИ // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2013. – № 11-1. – С. 44-47;
URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=4308 (дата обращения: 19.09.2020).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074