1. Постановка задачи и результат. Пусть 
конечная область, ограниченная отрезком 
оси 
, а при 
– отрезком
,
гладкой кривой 
вдоль которой
и прямой 
.
В области D рассмотрим линейные гиперболические уравнения
, (1)
.
В качестве краевой задачи с отходом от характеристики рассмотрим следующую
Задача 1 Найти в области D решение уравнения (1) из класса 
удовлетворяющие краевым условиям
, (2)
или
, (3)
которая встречается при исследовании трансзвуковых проблем [1].
В характеристических координатах 
, 
, уравнение (1) записывается следующим образом.
, (4)
.
При этом краевые условия (2) и (3) соответственно имеют вид
, 
, 
,
, (5)
, 
,
или
, 
, 
,
, 
, (6)
где
, 
,
а функция 
является решением уравнения 
, при этом
, 
, 
.
Пусть в случае задачи (4), (5) выполняется условие
, 
, (7)
а в случае задачи (4), (6) имеет место
, 
. (8)
Тогда справедлива теорема. Задача 1 однозначно разрешима.
2. Доказательство теоремы. Сначала рассмотрим задачи (1), (2), которое переходит к задаче (4), (5). Используя общее решение уравнения (4) [2] в [3] показано, что решение задачи Коши для уравнения (4) представимо в виде
,(9)
где 
– функция Римана уравнения (4), 
.
Тогда, из (9), при h=0 и 
, с учетом (5), получим следующие интегральные уравнения первого рода.
, 
,
, 
,
,
,
которые дифференцированием сводятся соответственно к интегральному уравнению Вольтерра второго рода
, 
, (10)
, 
,
;
и функционально-интегральному уравнению
, 
, (11)
, 
,
.
В [4] показано, что если
, 
, (12)
то функциональное уравнение (11) имеет единственное решение вида
. (13)
Из определения функции Римана R [2, 5] формула (12) записывается в виде (7), а (13) в следующем виде
, (14)
,
Известно, что функция Римана R по переменным ξ1, η1 и x, h имеет такую же гладкость, что и коэффициенты уравнения (4) [2, 5], поэтому ядро 
допускает оценку
. (15)
Решение интегрального уравнения (14) будем искать в виде ряда
, (16)
,
,
Из (15) получим следующие оценки
,
,
и вообще 
.
Тогда для ряда (16) будем иметь
.
Таким образом, интегральное уравнение (14), (а также (11)), при выполнений условия (7) однозначно разрешимо.
Следовательно, задача (4), (5) имеет единственное решение вида (9), в которой n(x) определяются из (10) и (14).
Теорема для задачи (1), (2) доказана.
Теперь рассмотрим задачу (1), (3) , которая переходит к задаче (4), (6). В этом случае из (9) при h=0 и 
, с учетом (6), получим следующие интегральное уравнение Вольтерра второго рода
, 
, (17)
и функционально – интегральное уравнение вида
, 
, (18)
где
,
,
,
,
.
Если выполняется условие
,
или это то же самое условие (8), то функциональное уравнение (18) имеет единственное решение вида
, (19)
,
при этом
, 
Решение интегрального уравнения (19) будем искать в виде ряда 
для которого имеет место неравенство 
.
Таким образом, интегральное уравнение (19) (а также (18)), при выполнении условия (8) однозначно разрешима.
Следовательно, задача (4), (6) имеет единственное решение вида (9), в которой t(x) определяются из (17) и (19).
Отметим, что если 
, то условие (8) невыполнимо. В этом случае уравнение (18) имеет вид
, 
, (20)
.
Так как интегральный оператор, стоящий в правой части равенства (20) вполне непрерывен, то как показано в [4] функциональное уравнение (20) имеет единственное решение.
Таким образом и в этом случае задача (4), (6) однозначно разрешима .
Теорема для задачи (1), (2) доказана.
Библиографическая ссылка
Алдашев С.А., Бекбатшаев М.Ж. КОРРЕКТНОСТЬ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С ОТХОДОМ ОТ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2013. – № 12. – С. 47-51;URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=4497 (дата обращения: 23.11.2024).