Научный журнал
Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований
ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,593

ИССЛЕДОВАНИЕ БИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ СТАБИЛИЗИРУЮЩЕГО УПРАВЛЕНИЯ

Жунусова Л.Х. 1 Тойганбаева Н.А. 1 Текесбаева Н.А. 1
1 Казахский национальный педагогический университет им. Абая
В настоящее время существует способ теоретического исследования сложных процессов, допускающих математическое описание, компьютерный эксперимент, т .е. исследование естественнонаучных проблем методами вычислительной математики. Математическому исследованию предшествует выбор приближения, т.е. решение вопроса о том, какие факторы надо учесть, а каким можно пренебречь. После этого проводится исследование проблемы методом вычислительного эксперимента. В данной работе исследована задача устойчивости и стабилизации системы описывающих биологический процесс. Получено стабилизирующее управление для исследуемой модели, который обеспечивает устойчивость решение на определенным отрезоке времени.
билинейная система
стабилизация
управление
аппроксимация
1. Бияров Т.Н. Устойчивость движения при постоянно действующих возмущениях. – Алматы: КазНУ, 1989. – 80 с.
2. Джолдасбеков О.А., Бияров Т.Н. Устойчивость и стабилизация движения механизмов и машин – Алматы: ИА РК, 1992. – 82 с.
3. Малкин Н.Г. Теория устойчивости движения. – М.: Наука, 1966. – 530 с.
5. Жунусова Л.Х. Об устойчивости и стабилизации билинейных моделей. //Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ, посвященной 100-летию академика С.М. Никольского: тезисы докладов международной конференции 5-7 мая 2005. – М. – 2005. – С.105.
6. Бияров Т.Н. Вопросы управляемости некоторых моделей // Проблемы современной математики и механики: тезисы докладов международной конференции 5-10 октбярь 2005./ Т.Н. Бияров, Л.Х. Жунусова – Алматы. – 2005. – С. 68.
7. Жунусова Л.Х. The solutions of a sum of control optimization in the class of bilinear systems // Вестник НАН РК № 5, 2007. – С. 26-28.

Известно, что структура различных иммунных процессов носит существенно нелинейный, распределенных и стохостический характер, ведущие процессы в большинстве случаев являются билинейными. Если судить по аналогии, то билинейные системы появляются при описании взаимодействие молекул антител с чужеродным веществом.

Анализ биологических систем и управление ими допустимо на основе билинейных моделей, если взаимодействия между составляющими можно будет описать с помощью временных линейнных уравнении, принимающих значения из некоторого множества и определяющих действие иерархии. В данной работе рассмотрена система на основе билинейных моделей. Биологическая система требует преодоления жестких ограничении, связанных с требованиями линейности. Другая ее особенность-эта изменчивая структура. Эта свойства является важным в тех случаях, когда на управления накладывается ограничения.

Лемма. Управления вида

zun1.wmf

осуществляет стабилизацию движения системы:

zun2.wmf;

zun3.wmf.

Доказательства данной леммы можно найти [1, 2, 3].

Постановка задачи. Выбором управления zun4.wmf требуется стабилизировать движения на конечном отрезке времени.

Пусть zun5.wmf тогда стабилизирующее управление можно предоставить в виде:

zun6.wmf

Для решения поставленной задачи взят процесс управления периодическим течением болезни [4, 5]. Этот процесс может быть описан:

zun7.wmf,

zun8.wmf,

zun9.wmf

с начальными условиями: zun10.wmf; :zun11.wmf; :zun12.wmf,

где первое уравнение описывает концентрацию зрелых плазмацитов, второе уравнение концентрацию антигена третье уравнение описывает концентрацию антител [6, 7].

Используем линеаризованную систему данной модели, которой получаем, пренебрегая членами x2x3.

Тогда матрица системы имеет вид:

zun13.wmf

Теперь вычислим собственные значения матрицы:

zun14.wmf zun15.wmf

Как видно решения неустойчивое и мы рассматриваемой модели добавляем стабилизирующее управления на zun16.wmf конечном отрезке: zun17.wmf

Фундаментальная матрица определяется из уравнения:

zun18.wmf

zun19.wmf

Теперь вычислим

zun20.wmf

Тогда имеем

zun21.wmf

После вычислим элементы матрицы:

zun22.wmf

Далее находим

zun23.wmf

Таким образом, решение рассматриваемой системы при стабилизирующем управлении имеет вид:

zun24.wmf

zun25.wmf

zun26.wmf

А стабилизирующее управление имеет вид:

zun27.wmf

zun28.wmf

zun29.wmf

Эти найденные выражения определют программное управление. Кроме этого, мы задачу исследовали с помощью численных методов.

zun.tiff

Изображение поведения управления u2 при 1,70<х1<1,89 , 5.1<х2<3.2, 0.9< х3<6.5

Рисунок показывает изменение поведения управления, в частности, u2. Именно u2 заменяет билинейность во втором уравнении системы моделируемого процесса. Как видно, в начальный момент времени значении u2 резко падает и даже достигает нулевого значения. Затем, через два часа, опять восстановливает свое значение и так плавно приближается к нулю.

Заключение. Оценку близости аппроксимационной модели можно получить, выбирая продолжительность времени zun30.wmf. Таким образом, мы можем приближенно находить решение билинейной системы через решения линеаризованной системы, обеспечивающее стабилизацию системы на конечном отрезке времени.


Библиографическая ссылка

Жунусова Л.Х., Тойганбаева Н.А., Текесбаева Н.А. ИССЛЕДОВАНИЕ БИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ СТАБИЛИЗИРУЮЩЕГО УПРАВЛЕНИЯ // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2014. – № 1. – С. 10-12;
URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=4530 (дата обращения: 29.03.2024).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1,674