Рассмотрим следующую краевую задачу для дифференциального оператора второго порядка с суммируемым потенциалом:
(1)
с многоточечными граничными условиями:
(2)
,
на коэффициенты в дальнейшем будут наложены дополнительные условия.
Методика нахождения асимптотики решений дифференциального уравнения (1) при больших значениях спектрального параметра l в случае суммируемого потенциала q(x) изложена автором в работах [1, 2].
Теорема 1. Пусть , причём зафиксируем ту ветвь корня, для которой
.
Общее решение дифференциального уравнения (1) имеет следующий вид:
(3)
где и
– произвольные постоянные, при этом линейно независимые решения
и
имеют при
следующие асимптотики:
(4)
(5)
аналогичные формулы справедливы для функций и
.
Подставляя формулы (3), (4), (5) в граничные условия (2), приходим к следующему выводу.
Теорема 2. Уравнение на собственные значения краевой задачи (1) – (2) имеет следующий вид
(6)
Введем следующую замену:
(7)
Тогда уравнение (6) с помощью формул (4), (5), (7) принимает вид
(8)
где
Основное приближение уравнения (8) представляет собой уравнение , которое всегда имеет корни
и
, и ещё какие-то четыре корня. Очень важный вид граничных условий вида (2) получается в случае
(9)
Соотношения (9) наблюдаются очень часто, например, если – любое,
– любое
,
.
В случае (9) уравнение имеет критические корни:
(10)
Аналогично работе [3] получаем следующий результат.
Теорема 3. В случае (9) – (10) асимптотику собственных значений краевой задачи (1) – (2) следует искать в следующем виде:
где коэффициенты ,
зависят от q(x) и могут быть найдены методами работ [1] и [3].
Библиографическая ссылка
Митрохин С.И. ОБ ИЗУЧЕНИИ МНОГОТОЧЕЧНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С СУММИРУЕМЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2014. – № 1-2. – С. 216-217;URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=4628 (дата обращения: 17.08.2024).