Научный журнал
Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований

ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,686

ОБ ИЗУЧЕНИИ МНОГОТОЧЕЧНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С СУММИРУЕМЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Митрохин С.И. 1
1 НИВЦ МГУ им. М.В. Ломоносова
1. Митрохин С.И. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора четвёртого порядка с суммируемыми коэффициентами // Вестник Московского ун-та. Сер. 1 «Математика, механика». – 2009. № 3 – С. 14-17.
2. Митрохин С.И. Спектральные свойства краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений с суммируемыми коэффициентами // Дифференциальные уравнения. – 2010. – Т.46, № 8. – С. 1085-1093.
3. Митрохин С.И. О «расщеплении» кратных в главном собственных значений многоточечных краевых задач // Известия ВУЗов. Серия: математика. – 1997. - № 3(418). – С. 38-43.

Рассмотрим следующую краевую задачу для дифференциального оператора второго порядка с суммируемым потенциалом:

mitro1.wmf (1)

с многоточечными граничными условиями:

mitro2.wmf (2)

mitro3.wmf,

на коэффициенты mitro4.wmf в дальнейшем будут наложены дополнительные условия.

Методика нахождения асимптотики решений дифференциального уравнения (1) при больших значениях спектрального параметра l в случае суммируемого потенциала q(x) изложена автором в работах [1, 2].

Теорема 1. Пусть mitro5.wmf, причём зафиксируем ту ветвь корня, для которой mitro6.wmf.

Общее решение дифференциального уравнения (1) имеет следующий вид:

mitro7.wmf (3)

где mitro8.wmf и mitro9.wmf – произвольные постоянные, при этом линейно независимые решения mitro10.wmf и mitro11.wmf имеют при mitro12.wmf следующие асимптотики:

mitro13.wmf (4)

mitro14.wmf (5)

аналогичные формулы справедливы для функций mitro15.wmf и mitro16.wmf.

Подставляя формулы (3), (4), (5) в граничные условия (2), приходим к следующему выводу.

Теорема 2. Уравнение на собственные значения краевой задачи (1) – (2) имеет следующий вид

mitro17.wmf (6)

Введем следующую замену:

mitro18.wmf (7)

Тогда уравнение (6) с помощью формул (4), (5), (7) принимает вид

mitro19.wmf (8)

где mitro20.wmf

Основное приближение уравнения (8) представляет собой уравнение mitro21.wmf, которое всегда имеет корни mitro22.wmf и mitro23.wmf, и ещё какие-то четыре корня. Очень важный вид граничных условий вида (2) получается в случае

mitro24.wmf (9)

Соотношения (9) наблюдаются очень часто, например, если mitro25.wmf – любое, mitro26.wmf – любое mitro27.wmf, mitro28.wmf.

В случае (9) уравнение mitro29.wmf имеет критические корни:

mitro30.wmf (10)

Аналогично работе [3] получаем следующий результат.

Теорема 3. В случае (9) – (10) асимптотику собственных значений краевой задачи (1) – (2) следует искать в следующем виде:

mitro31.wmf

где коэффициенты mitro32.wmf, mitro33.wmf зависят от q(x) и могут быть найдены методами работ [1] и [3].


Библиографическая ссылка

Митрохин С.И. ОБ ИЗУЧЕНИИ МНОГОТОЧЕЧНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С СУММИРУЕМЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2014. – № 1-2. – С. 216-217;
URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=4628 (дата обращения: 16.06.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.252