Научный журнал
Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований

ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,570

ОБ АСИМПТОТИКЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ СЛОЖНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ВОСЬМОГО ПОРЯДКА С СУММИРУЕМЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Митрохин С.И. 1
1 НИВЦ МГУ им. М.В. Ломоносова
1. Митрохин С.И. Спектральные свойства краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений с суммируемыми коэффициентами // Дифференциальные уравнения. – 2010. – Т.46, № 8. – С.1085-1093.
2. Митрохин С.И. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора четвёртого порядка с суммируемыми коэффициентами // Вестник Московского ун-та. Сер.1, математика, механика. – 2009. № 3 – С. 14-17.
3. Митрохин С.И. О спектральных свойствах дифференциального оператора с суммируемым потенциалом и гладкой весовой функцией // Вестник СамГУ – естественнонаучная серия. – 2008. № 8/1(67). – С.172-187.

Рассмотрим следующую краевую задачу для дифференциального оператора восьмого порядка:

mitroh1.wmf (1)

с граничными условиями вида

mitroh2.wmf (2)

Предполагается, что все коэффициенты уравнения (1) являются суммируемыми на отрезке

mitroh3.wmf (3)

при этом напомним:

mitroh4.wmf

почти всюду на отрезке mitroh5.wmf.

Для изучения граничных условий (2) необходимо изучить асимптотику решений дифференциального уравнения (1) при больших значениях спектрального параметра l. Будем следовать методике, разработанной автором в работах [1, 2, 3] для дифференциальных операторов второго и четвертого порядков.

Пусть mitroh6.wmf. Пусть mitroh7.wmf – различные корни восьмой степени из единицы:

mitroh8.wmf (4)

Теорема 1. Решение mitroh9.wmf дифференциального уравнения (1) является решением следующего интегрального уравнения Вольтерры:

mitroh10.wmf (5)

где

mitroh11.wmf (6)

Доказать формулы (5) – (6) можно непосредственным дифференцированием этих формул с учётом гладкости коэффициентов (3) и свойством (4) и подстановкой получившихся выражений в дифференциальное уравнение (1).

Уточним асимптотические выражения (5) методом последовательных приближений Пикара: находим mitroh12.wmf и mitroh13.wmf из формулы (5) и снова подставляем в (5), получая при этом, что справедливо следующее утверждение.

Теорема 2. Общее решение дифференциального уравнения (1) имеет следующий вид:

mitroh14.wmf (7)

где

mitroh15.wmf (8)

mitroh16.wmf (9)

mitroh17.wmf (10)

mitroh18.wmf (11)

mitroh19.wmf (12)

mitroh20.wmf (13)

Аналогичные асимптотические формулы справедливы для функций

mitroh21.wmf.

Формулы (7) – (13) позволяют изучить асимптотику собственных значений краевой задачи (1) – (2), как это было сделано ранее в работах [1, 2, 3].


Библиографическая ссылка

Митрохин С.И. ОБ АСИМПТОТИКЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ СЛОЖНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ВОСЬМОГО ПОРЯДКА С СУММИРУЕМЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2014. – № 1-2. – С. 223-224;
URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=4634 (дата обращения: 17.09.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.252