Научный журнал

Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований

ISSN 1996-3955

ИФ РИНЦ = 0,593

• Авторы
• Файлы
• Литература

Далингер В.А. 1

---

1 Омский государственный педагогический университет

Статья в формате PDF

1096 KB

1. Далингер В.А. Поисково-исследовательская деятельность учащихся по математике: учебное пособие. – Омск: Изд-во ОмГПУ, 2005.– 456 с.

2. Далингер В А. Задачи с модулями: учебное пособие. – Омск: Изд-во ООО «Амфора», 2010. – 360 с.

3. Далингер В.А. Задачи с параметрами: учебное пособие. – Омск: Изд-во ООО «Амфора», 2012. – 961 с.

4. Далингер В.А. Классические неравенства и решение задач с их использованием: учебное пособие. – Омск: Изд-во «Амфора», 2013. – 132 с.

5. Далингер В.А. Задачи в целых числах: учебное пособие. – М.: Илекса, 2013. – 112 с.

6. Далингер В.А. Начала математического анализа в задачах: учебное пособие. – Омск: Изд-во ОмГПУ, 2009. – 312 с.

В настоящее время итоговая аттестация выпускников школ проводится в формате единого государственного экзамена (ЕГЭ). Задания, предлагаемые в качестве контрольно-измерительных материалов, из года в год претерпевают изменения. Есть задания, с которыми учащиеся справляются без затруднений, но есть задания, которые вызывают у учащихся значительные трудности. К таким заданиям можно отнести задания С5 и С6.

Наш опыт показывает, что возможно, вооружив учащихся необходимым учебным материалом, облегчить решение таких заданий. Остановимся в данной статье на одной теореме, которая может стать подспорьем в решении трудных задач ЕГЭ по математике, в частности, задач С5, предложеных в 2013 году.

Теорема. Пусть задано уравнение f(h(x))=f(g(x)). Если функция f монотонна, то заданное уравнение на своей области определения равносильно уравнению h(x)=g(x).

Рассмотрим решение уравнения , применив для этого сформулированную теорему.

Рассмотрим функцию . Если мы в данную функцию вместо t подставим sin2x, то получим левую часть уравнения, а если cos2x, то получим правую часть уравнения. Значит, заданное уравнение имеет вид f(sin2x)=f(cos2x). Исследуем функцию f(t) на монотонность, для чего найдем ее производную. Будем иметь:
f′(t) = 3t2+3. Так как f′(t) >0, то функция f(t) монотонно возрастает. Тогда заданное уравнение, согласно теореме, будет равносильно уравнению sin2x=fcos2x. Его решение довольно простое, а потому мы его приводить не будем.

В 2013 году в качестве С5 учащимся были предложены задания:

Задание 1. Найдите все значения параметра , для каждого из которых уравнение  имеет более трех различных корней.

Задание 2. Найдите все значения параметра , для каждого из которых уравнение  имеет более трех различных корней.

Задание 3. Найдите все значения параметра , при которых уравнение имеет более одного корня.

Рассмотрим решение задания 1. Запишем заданное уравнение в виде +. Рассмотрим функцию f(t)=. Если мы в данную функцию вместо t подставим , то мы получим левую часть уравнения, а если , то получим правую часть уравнения. Значит, заданное уравнение имеет вид f(=f(|x|–a) Легко показать, что производная всегда положительна, а значит функция f(t) монотонно возрастает. Тогда заданное уравнение, согласно теореме, будет равносильно уравнению . Решим его графически, для чего вначале запишем его в виде , или ,
или . В одной системе координат построим графики функций
и y =а. Мы увидим, что при прямая y =а пересекает график функции в четырех точках. Следовательно, ответом служит промежуток .

Рассмотрим решение задания 3. Запишем заданное уравнение в виде , или . Рассмотрим функцию . Если мы в данную функцию вместо t подставим , то мы получим левую часть уравнения, а если ,
то получим правую часть уравнения. Значит, заданное уравнение имеет вид Производная всегда положительна, а значит функция f(t) монотонно возрастает. Тогда заданное уравнение, согласно теореме, будет равносильно уравнению , или Квадратное уравнение будет иметь более одного корня (слова «более одного корня» следует понимать как два различных корня), если его дискриминант положителен: D = 4–12а > 0, откуда .Следовательно, ответом служит промежуток .

Аналогичным образом можно решить и задание 2.

Покажем приемы, которые можно использовать для рационализации неравенств.

Для рационализации неравенств можно использовать следующие замены выражений:

а) на ;

б) на ;

в) на ;

г) на .

Как правило, a, b, c являются функциями. Не сложно доказать справедливость указанных замен.

Каждая из указанных замен приводит обычно к изменению области допустимых значений (ОДЗ), причем, и это очень важно, ОДЗ нового неравенства шире, чем у исходного, так что потери решений не происходит, а полученные в конце решения надо еще проверить на вхождение в ОДЗ исходного неравенства. Другими словами, решениями исходного неравенства будут те из полученных решений, которые лежат в его ОДЗ, в таком случае мы будем говорить, что новое неравенство равносильно исходному в его ОДЗ. Следовательно, надо начинать решения с нахождения ОДЗ исходного неравенства. Заметим также, что когда a, b, c зависят от х, получаемое после замены неравенство вовсе не обязательно будет рациональным.

Рассмотрим три примера.

а) Решить неравенство

.

Решение. Найдем область определения неравенства:

Воспользуемся заменой, указанной под буквой а). Будем иметь:

Используя метод интервалов и учитывая область определения исходного неравенства, получим х>4.

б) Решить неравенство:

.

Решение. Найдем область определения исходного неравенства:

получаем

Используя указанные выше замены а) – г), получаем:

Решение этого неравенства уже не представляет сложности, но не следует забывать про область определения исходного неравенства.

в) Решить неравенство:

Решение. Областью определения исходного неравенства являются все действительные числа, кроме нуля.

Перепишем неравенство в виде Используя указанные замены а) и г), получим

откуда, методом интервалов, находим ответ .

Аналогичные рекомендации, облегчающие решение уравнений, можно дать и по отношению к уравнению вида , где  – некоторая функция.

Примерами таких уравнений могут быть:

а)

б)

в)

г)

Рекомендации по решению уравнений вида приведены в нашей работе [1].

Рекомендации, облегчающие решение, можно дать и по отношению к уравнению вида

,

где f(x), g(x) – некоторые функции. Заметим, что это уравнение является обобщением класса уравнений .

Для указанного уравнения

справедливы следующие утверждения, полезные при их решении.

1. Корни уравнения

, (*)

входящие в область допустимых значений уравнения

, (**)

являются решениями уравнения (**).

2. Если функция f(x) возрастающая
и g(x) > 0, или функция f(x) убывающая
и g(x) < 0 на области допустимых значений уравнения (**), то уравнения (**) и (*) равносильны на области допустимых значений уравнения (**).

3. Если функция f(x) является многочленом n-й степени и g(x) – многочлен, то полином

делится на многочлен .

Библиографическая ссылка