Постановка задачи
Для решения задачи о моделировании нестационарных упругих волн в деформируемых областях сложной формы рассмотрим некоторое тело Г (рис. 1) в прямоугольной декартовой системе координат ХОY, которому в начальный момент времени 
сообщается механическое воздействие. Предположим, что тело Г изготовлено из однородного изотропного материала, подчиняющегося упругому закону Гука при малых упругих деформациях.
Рис. 1. Некоторое тело Г в прямоугольной декартовой системе координат XOY
Точные уравнения двумерной (плоское напряженное состояние) динамической теории упругости имеют вид
, 
,
,
,
,
,
, 
, 
,
, (1)
где 
, 
и 
– компоненты тензора упругих напряжений; 
, 
и 
– компоненты тензора упругих деформаций; u и v – cоставляющие вектора упругих перемещений вдоль осей OX и OY соответственно; r – плотность материала; 
– скорость продольной упругой волны; 
– скорость поперечной упругой волны; n – коэффициент Пуассона; E – модуль упругости; 
– граничный контур тела Г.
Систему (1) в области, занимаемой телом Г, следует интегрировать при начальных и граничных условиях.
Начальные условия в области Г зададим в виде
, 
, 
,
, 
, (2)
где 
, 
, 
и 
– заданные в области Г функции.
Граничные условия зададим в виде:
составляющих компонентов тензора упругих напряжений на границе S1
, 
,
; (3)
составляющих компонентов вектора упругих перемещений на границе S2
, 
, 
, (4)
где l и m – направляющие косинусы; 
, 
, 
и 
– заданные на границе S функции.
В работах [1–10] приведена информация о моделировании волн напряжений в деформируемых областях.
Метод решения двумерной плоской динамической задачи теории упругости
Для решения двумерной плоской динамической задачи теории упругости с начальными и граничными условиями – используем метод конечных элементов в перемещениях. Задача решается методом сквозного счета, без выделения разрывов. Чтобы выполнить динамический расчет методом конечных элементов, нужно иметь матрицу жесткости и матрицу инерции конечного элемента.
Принимая во внимание определение матрицы жесткости, вектора инерции и вектора внешних сил для тела Г, записываем приближенное значение уравнения движения в теории упругости
, 
, 
, (5)
где 
– матрица инерции; 
– матрица жесткости; 
– вектор узловых упругих перемещений; 
– вектор узловых упругих скоростей перемещений; 
– вектор узловых упругих ускорений; 
– вектор узловых упругих внешних сил.
Соотношение (5) система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в перемещениях с начальными условиями. Таким образом, с помощью метода конечных элементов в перемещениях, линейную задачу с начальными и граничными условиями привели к линейной задаче Коши (5).
Рассмотрим интегрирование системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в перемещениях с начальными условиями.
Для интегрирования уравнения (5) конечноэлементным вариантом метода Галеркина приведем его к следующему виду
, 
. (6)
Интегрируя по временной координате соотношение (6) с помощью конечноэлементного варианта метода Галеркина, получим двумерную явную двухслойную конечноэлементную линейную схему в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек
,
, (7)
где 
– шаг по временной координате.
Основные соотношения метода конечных элементов в перемещениях получены с помощью принципа возможных перемещений и конечноэлементного варианта метода Галеркина. Рассмотрим устойчивость двумерной явной двухслойной конечноэлементной линейной схемы в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек на квазирегулярных сетках. Система уравнений (5) для внутренних и граничных узловых точек, полученная в результате интегрирования уравнения движения теории упругости, должна давать решение, сходящееся к решению исходной системы (1).
Шаг по временной переменной 
определяем из следующего соотношения
, 
, (8)
где 
– длина стороны конечного элемента.
Результаты численного эксперимента показали, что при k = 0,5 обеспечивается устойчивость двумерной явной двухслойной конечноэлементной линейной схемы в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек на квазирегулярных сетках.
На основе метода конечных элементов в перемещениях разработаны алгоритм и комплекс программ для решения линейных плоских двумерных задач, которые позволяют решать сложные задачи при нестационарных динамических воздействиях на сооружения. При разработке комплекса программ использовался алгоритмический язык Фортран-90.
Некоторая информация о достоверности моделирования волн напряжений в деформируемых телах приведена в следующих работах [1–5, 8–10].
Решение задачи о сосредоточенном упругом взрывном воздействии
В упругой полуплоскости от сосредоточенного воздействия распространяются продольные, поперечные, рэлеевские и конические волны. Они распространяются с разной скоростью. В работе [7] приведена информация о численном решении задачи Лэмба. Рассмотрим задачу о воздействии сосредоточенной волны в виде дельта функции (рис. 3) перпендикулярной свободной поверхности упругой полуплоскости (рис. 2). В точке B перпендикулярно свободной поверхности 
приложено упругое нормальное напряжение 
(рис. 3), которое при 
изменяется линейно от 0 до P, а при 
от P до 0 (
, 
МПа (–1 кгс/см2)).
Рис. 2. Постановка задачи о воздействии сосредоточенной волны в виде дельта функции на свободной поверхности упругой полуплоскости
Рис. 3. Воздействие типа дельта функции
Рис. 4. Изменение упругого контурного напряжения 
во времени 
в точке A1
Рис. 5. Изменение упругого контурного напряжения 
во времени 
в точке A2
Рис. 6. Изменение упругого контурного напряжения 
во времени 
в точке A3
Граничные условия для контура CDEA при 
. Отраженные волны от контура CDEA не доходят до исследуемых точек при 
. Контур ABC свободен от нагрузок, кроме точки B, где приложено сосредоточенное упругое нормальное напряжение 
.
Расчеты проведены при следующих исходных данных: 
; 
= 1,393⋅10-6 с; E = 3,15⋅10 4 МПа (3,15⋅10 5 кгс/см2); 
= 0,2; 
= 0,255⋅104 кг/м3 (0,255⋅10-5 кгс с2/см4); 
= 3587 м/с; 
= 2269 м/с. Решается система уравнений из 48032004 неизвестных.
На рис. 4–6 показано изменение упругого контурного напряжения 
(
) во времени n в точках A1–A3 (рис. 2), находящихся на свободной поверхности упругой полуплоскости (расстояние между точками: A1 и A2 равно H; A2 и A3 равно H).
Вывод
Амплитуда поверхностных волн Релея существенно больше амплитуд продольных, поперечных и других волн при воздействии перпендикулярного сосредоточенного воздействия в виде треугольного импульса на поверхности упругой полуплоскости.
Библиографическая ссылка
Мусаев В.К. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН НАПРЯЖЕНИЙ В ЗАДАЧЕ ЛЭМБА ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ В ВИДЕ ДЕЛЬТА ФУНКЦИИ // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2015. – № 2-1. – С. 25-29;URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=6368 (дата обращения: 07.03.2025).