Одной из важных и актуальных задач в различных отраслях промышленности и энергетике является повышение эффективности проводимых процессов. Например, повышение эффективности теплообмена может выполняться с помощью как активных, так и пассивных методов. К пассивным методам относятся – создание искусственной шероховатости поверхности, выступы, кольцевые накатки, закрутка потока в канале и т.д. При этом одной из основных задач является определение коэффициентов теплоотдачи от таких поверхностей. В данной статье рассмотрен приближенный подход определения средних коэффициентов теплоотдачи в каналах с шероховатой стенкой и закруткой потока. Для этого используется модель пограничного слоя с функцией турбулентной вязкости Дайслера с учетом затихания турбулентных пульсаций по модели Ландау и Левича.
Приближенное математическое описание процессов переноса в пограничном слое связано с моделями Прандтля, Кармана, Ландау и Левича, и др., а также с развитием гидродинамической аналогии Рейнольдсом и Чилтоном – Кольборном. Причем наиболее теоретически обоснованной и перспективной является модель диффузионного пограничного слоя Ландау – Левича [3 ,8, 9]. Известно, что турбулентный пограничный слой, как и всякая устойчивая статистическая система, имеет некоторые консервативные свойства [5, 6, 11]. На важную особенность пристенной турбулентности – весьма слабую зависимость некоторых характеристик осредненного течения по отношению к внешним возмущениям – особое внимание обратил С.С. Кутателадзе совместно с А.И. Леонтьевым. На основе предельных относительных законов теплообмена и трения были созданы расчетные методы [5–7].
Теоретическая основа рассмотренного ниже подхода заключается в использовании известных свойств консервативности законов трения к продольному градиенту давления в пограничном слое, т.е. структура математического описания элементарных актов переноса инвариантна к различным возмущениям и масштабу аппарата. Влияние этих факторов не изменяет структуру математического описания пограничного слоя, а учитывается параметрически [3, 8, 9].
Определение коэффициентов теплоотдачи
Допущения к математической модели теплоотдачи:
– входной участок значительно меньше длины обтекаемого тела (канала) и поэтому им можно пренебречь. При небольшой длине канала влияние входного участка можно учесть известными поправками;
– теплофизические свойства среды поперек пограничного слоя изменяются незначительно. При больших градиентах температур влияние можно учесть известными поправками;
– турбулентное число Прандтля близко к единице;
– основное сопротивление процессу теплоотдачи сосредоточено в пограничном слое, где происходит молекулярный перенос тепла в сочетании с затухающей турбулентной диффузией (модель Ландау-Левича).
Сопротивление переносу тепла в турбулентном пограничном слое записано в виде [8, 9]:
(1)
где α – средний коэффициент теплоотдачи, Вт/ (м2·К); q* – относительная плотность теплового потока; ρ – плотность среды, кг/м3; cp – теплоемкость среды, Дж/(кг К); a, aт – коэффициенты молекулярной и турбулентной температуропроводности, м2/с; δ – толщина пограничного слоя, м; y – поперечная координата, м.
Коэффициент турбулентного переноса aт = vт/Prт, принят в форме функции Дайслера [11]
, (2)
где u* – динамическая скорость, м/с; v – коэффициент кинематической вязкости, м2/с, /Prт = vт/aт – турбулентное число Прандтля; vт – коэффициент турбулентной вязкости, м2/с, (Prт ≈ 1).
После интегрирования (1) с функцией (2) получена формула для коэффициента теплоотдачи при осевом движении потока в канале в виде:
, (3)
где безразмерные величины связаны с областью интегрирования и установлены в виде:
k = 13,91; b = 2,5; R’ = 30; с = 0,14; Pr – число Прандтля.
Показатель степени при числе Прандтля Pr0,66 следует из закона затухания турбулентных пульсаций в пограничном слое.
Уравнение (3) является достаточно общим и позволяет определять коэффициенты теплоотдачи для различных условий турбулентного движения среды при соответствующих вычислениях его параметров.
Теплоотдача от пластин в трубе
Первоначально выполним проверку уравнения (3) для пластины и трубы.
При движении среды в турбулентном режиме вдоль плоской поверхности параметры уравнения (3) имеют вид [7, 11]:
динамическая скорость:
(4)
коэффициент трения:
(5)
число Рейнольдса:
(6)
где u∞ – средняя скорость среды, м/с; L – длина пластины, м.
Значение средней безразмерной толщины пограничного слоя Rδ можно определить по следующим формулам [11], [8]:
Rδ = exp[0,4(u∞/u*–5,0)], (7)
или , (8)
(9)
Выражение (7) следует из логарифмического профиля скорости при u = u∞, у = δ.
На основе (3) запишем число Нуссельта NuL для пластины:
(10)
Для проверки адекватности полученных значений чисел Нуссельта произведем их сравнение со значениями чисел Нуссельта по следующему известному уравнению:
(11)
Результаты расчета чисел Нуссельта по полученным значениям Rδ, которые были рассчитаны по (7) и (9) представлены в табл. 1 и табл. 2 соответственно. Длина пластины 1 м.
Таблица 1
Значения чисел Нуссельта в зависимости от числа ReL
Re |
Nu по (10) |
Nu по (11) |
Расхождение, % |
105 |
347,8 |
370 |
6 |
106 |
1957,4 |
2334,5 |
16,2 |
107 |
14791,5 |
14730 |
0,4 |
Таблица 2
Значения чисел Нуссельта в зависимости от числа ReL
Re |
Nu по (10) |
Nu по (11) |
Расхождение, % |
105 |
341,8 |
370 |
7,6 |
106 |
1970,2 |
2334,5 |
15,6 |
107 |
15138,2 |
14730 |
2,7 |
На основании результатов расчета чисел Нуссельта по (10) и (11) можно сделать вывод, что их значения имеют удовлетворительную сходимость от 0,4 % до 16,2 % при значениях средней безразмерной толщины пограничного слоя Rδ рассчитанной по (7) и от 2,7 % до 15,6 % при Rδ рассчитанной по (9).
Для круглой трубы с гладкими стенками при осесиметричном движении среды динамическая скорость и Rδ в уравнении (3) имеют вид:
(12)
, (13)
где ξ – коэффициент гидравлического сопротивления; ucp – средняя скорость, м/с.
Значение средней безразмерной толщины пограничного слоя Rδ можно вычислить по формуле (7) при u∞ = ucp. В качестве примера определим Rδ используя безразмерный профиль скорости в виде:
, (14)
где c = 8,74, n = 7.
На границе вязкого подслоя при у = δ1 функция, (14) имеет значение:
. (15)
Отсюда запишем:
. (16)
При у = δ из (15) имеем:
(17)
Тогда
(18)
В результате из (15) и (17) получим:
(19)
Для пластины и тогда:
(20)
или (21)
При R1 =11,6 получим (n = 7)
(22)
Аналогично получим для трубы:
. (23)
Расчеты по формулам (13) и (23) дают близкие значения Rδ. Уравнение (3) для трубы в безразмерной форме запишется в виде
. (24)
Для сравнения результатов расчетов числа Нуссельта (Nud = αd/λ) по (24) использовалась известная формула для трубы:
, (25)
а также уравнение Петухова:
, (26)
где k1 = 1+ 3,4ξ; k2 = 11,7 + 1,8Pr–1/3, ξ – по формуле Блазиуса:
, (104 < Re < 105). (27)
Значения чисел Нуссельта представлены в табл. 3.
Таблица 3
Значения чисел Нуссельта от чисел Рейнольдса (Pr = 5)
Re |
Nu по (24) |
Nu по (25) |
Nu по (26) |
Расхождение, % |
104 |
72,5 |
72,8 |
74,6 |
2,8 |
2·104 |
128,4 |
126,8 |
132,7 |
4,45 |
4·104 |
227,9 |
220,8 |
235,7 |
6,3 |
5·104 |
274,1 |
263,9 |
283,4 |
6,9 |
6·104 |
319 |
305,4 |
329,4 |
7,3 |
8·104 |
405 |
384,4 |
417,4 |
7,9 |
В выражении (24) можно ввести известный множитель (Pr/Prст)0,25, который учитывает зависимость физических свойств жидкости от температуры и влияние направления теплового потока.
Теплоотдача для поверхностей с элементами интенсификации
Следует отметить, что выражения для чисел Нуссельта, аналогичные (10) и (24) были получены различными авторами еще 1950–70 гг., поэтому определение коэффициентов теплоотдачи для пластины и трубы с гладкой поверхностью не имеет особой новизны. Значительно более сложной задачей является определение теоретическим путем коэффициентов теплоотдачи для поверхностей с элементами интенсификации (шероховатость, выступы, кольцевые накатки, закрутка и т.д.). В настоящее время для этого используются в основном различные полуэмпирические подходы.
Рассмотрим применение выражения (3) для закрученного потока при стационарном режиме.
Среднее значение динамической скорости в закрученном потоке следует из условия баланса сил в канале:
, (28)
где ucp – средняя скорость в канале, м/с; θ – угол закрутки потока; ξ3 – коэффициент сопротивления потока с закруткой.
В пограничном слое с возмущениями (интенсификаций) параметры уравнения (3) имеют вид [8, 9]:
. (29)
где ξ – коэффициент сопротивления для осесимметричного потока, вычисляется по известному выражению, например (27). Запишем выражение (3) в более удобном для расчетов виде. Используя значения (28), (29), получим число Нуссельта:
(30)
Аналогично запишем число Стантона для канала с закруткой:
. (31)
Полученные выражения также можно использовать для приближенных расчетов коэффициентов теплоотдачи в каналах с шероховатой поверхностью. Динамическая скорость в каналах с шероховатой поверхностью примерно равна
,
где ξш, сfш – коэффициенты гидравлического сопротивления и трения с учетом шероховатости. Известно, что в режиме максимального проявления шероховатости наступает автомодельный режим и ξш ≈ 0,08.
Число Стантона для канала с шероховатой стенкой запишется в виде:
. (32)
Результаты расчетов
Для расчета коэффициента гидравлического сопротивления закрученных потоков в работах [1, 2, 7, 11] представлены различные выражения и графики. На рис. 1 даны результаты расчета числа Нуссельта (30) и сравнение с обобщенными опытными данными для закрученного потока [11] Расхождение в пределах 10 %. Также удовлетворительное согласование (± 15 %) получено с экспериментальными данными, приведенными в работе [2].
а)
б)
Рис. 1. а) зависимость комплекса Nu/Pr0,43 от числа Re в канале с ленточным завихрителем: 1 – расчет по уравнению (30); 2 – экспериментальные данные; 3 – для осевого потока; б) результаты расчета и опытные данные по теплоотдаче в канале с шероховатыми стенками 1,3 – расчет по уравнению (32), 2,4 –экспериментальные данные [4]
Рис. 2. Эффективность интенсификации теплообмена в круглом канале [2], [9]: 1 – область, занимаемая экспериментальными точками, 2 – при Nu/Nu0 = ξ/ξ0, 3 – расчет по формуле (30)
На рис. 2 представлена зависимость Nu/Nu0 от ξ/ξ0 для различных способов интенсификации теплообмена в каналах и результаты расчета с использованием формулы (30), где Nu0, ξ0 для каналов без интенсификации. Из рис. 2 следует, что рекомендуемое многими авторами отношение Nu/Nu0 = ξ/ξ0 справедливо до значения ξ/ξ0 ≤ (1,5÷2). При ξ/ξ0 > 2 начинается опережающий рост гидравлического сопротивления по сравнению с теплоотдачей.
Выводы
На основе применения модели турбулентного пограничного слоя получено выражение для расчета среднего значения коэффициента теплоотдачи. Выполнена последовательная проверка данного выражения для случаев теплоотдачи от пластины, в трубе, а также в каналах с закруткой потока и шероховатой стенкой. При переходе к потокам с возмущениями выполняется корректировка параметров уравнения в виде отношения коэффициентов гидравлического сопротивления.
Полученные выражения для чисел Нуссельта и Стантона рекомендуется для практического применения при расчетах теплообменных аппаратов.
Работа выполнена в рамках проектной части государственного задания в сфере научной деятельности (Задание № 13.405.2014/К).
Библиографическая ссылка
Лаптев А.Г., Башаров М.М., Рунов Д.М. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ТЕПЛООТДАЧИ В КАНАЛАХ С ЭЛЕМЕНТАМИ ИНТЕНСИФИКАЦИИ // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2015. – № 3-3. – С. 311-315;URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=6534 (дата обращения: 08.12.2024).