Научный журнал

Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований

ISSN 1996-3955

ИФ РИНЦ = 0,593

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Рахман П.А. 1

---

1 ФГБОУ ВПО «Уфимский государственный нефтяной технический университет»

Рассматривается модель надежности мажоритарной вычислительной системы с учетом конечного времени активации узлов, и различных интенсивностей отказов в активном и пассивном состояниях. Также рассматриваются полученные автором модели надежности и расчетные формулы показателей надежности для элемента с тремя состояниями и системы идентичных независимых элементов с заданным нижним порогом для числа активных элементов, при котором система считается работоспособной. Наконец, рассматриваются применение обобщенной модели и формул для частного случая мажоритарной вычислительной системы с тремя узлами, а также пример расчета показателей надежности системы.

Статья в формате PDF

1686 KB

вычислительная система

элемент с тремя состояниями

цепь Маркова

показатели надежности

Черкесов Г.Н. Надежность аппаратно-програм­мных комплексов. – СПб.: Питер, 2005.

Martin L. Shooman. Reliability of computer systems and networks. John Wiley & Sons Inc., 2002.

Каяшев А.И., Рахман П.А., Шарипов М.И. Анализ показателей надежности избыточных дисковых массивов // Вестник УГАТУ: научный журнал УГАТУ, 2013. – Т. 17. № 2 (55). – С. 163–170.

Каяшев А.И., Рахман П.А., Шарипо М.И. Анализ показателей надежности локальных компьютерных сетей // Вестник УГАТУ: научный журнал УГАТУ, 2013. – Т. 17. № 5 (58). – С. 140–149.

Каяшев А.И., Рахман П.А., Шарипов М.И. Анализ показателей надежности двухуровневых магистральных сетей // Вестник УГАТУ: научный журнал УГАТУ, 2014. –

Т. 18. № 2 (63). – С. 197–207.

Рахман П.А., Каяшев А.И., Шарипов М.И. Модель надежности отказоустойчивой пограничной маршрутизации с двумя Интернет-провайдерами // Вестник УГАТУ: научный журнал УГАТУ, 2015. – Т. 19. № 1 (67). – С. 131–139.

Рахман П.А., Каяшев А.И., Шарипов М.И. Марковская цепь гибели и размножения в моделях надежности технических систем // Вестник УГАТУ: научный журнал УГАТУ, 2015. – Т. 19. № 1 (67). – С. 140–154.

Рахман П.А., Каяшев А.И., Шарипов М.И. Модель надежности отказоустойчивых систем хранения данных // Вестник УГАТУ: научный журнал УГАТУ, 2015. – Т. 19. № 1 (67). – С. 155–166.

Рахман П.А., Шарипов М.И. Модель надежности двухузлового кластера приложений высокой готовности в системах управления предприятием // Экономика и менеджмент систем управления, 2015. – Т. 17. № 3. – С. 85–102.

Рахман П.А., Шарипов М.И. Модели надежности каскадных дисковых массивов в системах управления предприятием // Экономика и менеджмент систем управления, 2015. – Т. 17. № 3.1. – С. 155–168.

В современном мире информационные технологии являются неотъемлемой частью жизни человека и бизнес-процессов предприятий. Ежедневно огромные объемы информации создаются, передаются, обрабатываются и сохраняются с применением специализированных программно-аппаратных систем. Помимо потребительских технических характеристик систем, таких как: производительность, время задержки, емкость, размер, потребляемая мощность, не менее важными являются характеристики надежности, от которых зависит безопасность функционирования систем, сохранность данных, своевременность передачи и обработки информации, достоверность результатов.

Для оценки показателей надежности восстанавливаемых отказоустойчивых систем, состоящих из множества идентичных и независимых элементов, применяют модели надежности на базе восстанавливаемого элемента с двумя состояниями [1, 2]. Однако, такие модели не учитывают специфику некоторых видов технических элементов, в частности, узлов обработки информации, которые даже будучи в исправном состоянии требуют время для загрузки или реконфигурации программного обеспечения для того, чтобы начать обрабатывать информацию, и до завершения загрузки или реконфигурации пребывают в промежуточном пассивном состоянии. Переход в активное состояние обычно происходит за достаточно короткое, но все же конечное время. Кроме того, в пассивном состоянии элементы также могут отказывать, и интенсивность отказов в пассивном состоянии не равна нулю и не совпадает с интенсивностью отказов в активном состоянии. В такой ситуации возникает необходимость в рассмотрении моделей надежности специального элемента с тремя состояниями (активный, пассивный и неисправный) и систем на базе таких элементов.

В рамках научных исследований автора в области надежности систем хранения, передачи и обработки информации [3–10] возникла научная задача построения модели надежности мажоритарной вычислительной системы с учетом конечного времени активации вычислительных узлов, и различных интенсивностей отказов в активном и пассивном состояниях. Автором была построена модель надежности и выведены расчетные формулы показателей надежности для элемента с тремя состояниями. Далее модель и формулы были обобщены для системы из множества идентичных и независимых элементов с тремя состояниями с заданным нижним порогом для числа активных элементов, при котором система считается работоспособной. Наконец, обобщенная модель и формулы были применены для частного случая мажоритарной вычислительной системы.

Модель надежности элемента с тремя состояниями. Рассмотрим элемент со следующим множеством состояний и условий переходов между ними:

● Состояние P – элемент исправен, но пассивен: не выполняет требуемые функции в силу выполнения инициализации программного обеспечения (активации). Из этого состояния элемент с интенсивностью γN (активация) может перейти в состояние A, либо с интенсивностью λР (отказ в пассивном состоянии) перейти в состояние F.

● Состояние A – элемент исправен и активен (выполняет требуемые функции). Из этого состояния элемент с интенсивностью λA (отказ в активном состоянии) может перейти в состояние F.

● Состояние F – элемент неисправен. Из этого состояния элемент с интенсивностью μN (ремонт) может перейти в состояние P.

Тогда, с учетом вышесказанного имеем следующий граф состояний (рис. 1):

Рис. 1. Марковская модель надежности элемента с тремя состояниями

Математическая модель (система уравнений Колмогорова-Чепмена):

(1)

где λА – интенсивность отказов элемента в активном состоянии, λР – интенсивность отказов в пассивном состоянии, μN – интенсивность ремонта, и γN – интенсивность активации (перехода из пассивного состояния в активное состояние).

Мы ограничимся выводом аналитического решения для стационарного случая при t → ∞, когда марковский процесс становится установившимся, и производные вероятностей по времени стремятся к нулю. Тогда мы имеем дело с системой алгебраических уравнений, и, решая ее, получаем формулы для стационарных вероятностей всех состояний:

(2)

Соответственно, стационарный коэффициент готовности элемента, с учетом того, что только в состоянии A элемент активен и выполняет требуемые функции:

(3)

Примечание. При γN → ∞, коэффициент готовности K → μN/(μN + λА).

Среднее время наработки на отказ нетрудно определить, используя топологический метод для моделей надежности на базе цепей Маркова. Оно определяется как отношение суммы вероятностей работоспособных состояний к взвешенной сумме вероятностей работоспособных состояний, умноженных на соответствующие суммы интенсивностей переходов из работоспособного состояния во все неработоспособные:

(4)

Наконец, среднее время восстановления, включающего в себя ремонт и активацию, нетрудно определить из взаимосвязи коэффициента готовности со средними временами наработки на отказ и восстановления:

(5)

Модель надежности системы идентичных и независимых элементов. Рассмотрим систему n независимых и идентичных элементов с тремя состояниями. Каждый элемент может независимо находится в одном из трех состояний.

В силу идентичности элементов пусть каждое состояние системы отражает определенное количество i активных элементов, j неисправных элементов, 0 ≤ i ≤ n, 0 ≤ j ≤ n, i + j ≤ n, и n – i – j пассивных элементов. Общее количество состояний системы (n + 1)(n + 2)/2. Из состояния (i, j) система может перейти:

● С интенсивностью iλА в состоянии : отказ одного из активных элементов.

● С интенсивностью (n – i – j)γN в состояние : активация одного из пассивных.

● С интенсивностью (n – i – j)λP в состояние : отказ одного из пассивных.

● С интенсивностью jμN в состояние : ремонт одного из неисправных.

Кроме того, пусть система считается работоспособной тогда, когда не менее s элементов активны, 1 ≤ s ≤ n. Соответственно, состояния (i ≥ s, j) системы считаются работоспособными, а состояния (i < s, j) неработоспособными.

Тогда, с учетом всего вышесказанного имеем следующий граф состояний системы независимых и идентичных элементов с тремя состояниями (рис. 2).

Следует отметить, что в силу независимости элементов для определения вероятностей всех состояний системы нет необходимости в трудоемком составлении и решении системы уравнений Колмогорова-Чепмена. Стационарная вероятность каждого состояния (i, j) равна произведению вероятности одновременного нахождения i элементов в активном состоянии , вероятности одновременного нахождения j элементов в неисправном состоянии , вероятности одновременного нахождения n – i – j элементов в пассивном состоянии , умноженного на число всевозможных сочетаний активных, неисправных и пассивных элементов:

(6)

Для расчета показателей надежности системы нам также понадобится сумма вероятностей всех состояний системы при заданном количестве i активных элементов:

(7)

Рис. 2. Модель надежности системы n идентичных и независимых элементов с тремя состояниями и заданным нижним порогом s для числа активных элементов

Тогда при заданном нижнем пороге s для числа активных элементов, при котором система работоспособна, стационарный коэффициент готовности системы определяется как сумма вероятностей всех работоспособных состояний :

(8)

Соответственно, среднее время наработки на отказ системы определяется как отношение суммы вероятностей всех работоспособных состояний к взвешенной сумме вероятностей граничных работоспособных состояний , умноженных на соответствующие интенсивности iλА перехода в неработоспособные состояния. Заметим, что для всех граничных работоспособных состояний интенсивность перехода в неработоспособные состояния одинакова и равна sλА:

(9)

Наконец, среднее время восстановления, нетрудно определить из взаимосвязи коэффициента готовности со средними временами наработки на отказ и восстановления:

(10)

Модель надежности мажоритарной вычислительной системы с тремя узлами. Отказоустойчивая вычислительная система с тремя узлами и мажоритарным выбором результата вычислений может рассматриваться как частный случай вышеописанной системы при n = 3 и s = 2. Вычислительная система дает достоверный результат в случае, если не менее двух из трех узлов исправны и активны (выполняют вычисления). Тогда имеем следующий граф состояний рассматриваемой вычислительной системы (рис. 3).

Формула для расчета коэффициент готовности вычислительной системы выводится путем подстановки n = 3 и s = 2 в формулу 8:

(11)

Аналогично выводим формулу для расчета среднего времени наработки на отказ:

(12)

Наконец, формула для расчета среднего времени восстановления:

(13)

Рис. 3. Модель надежности мажоритарной вычислительной системы с тремя узлами

Пример расчета показателей надежности. Пусть задана мажоритарная вычислительная система с тремя узлами. Интенсивность отказов узлов в активном состоянии λА = 1/2920 час-1 (в среднем три раза в год), интенсивность отказов в пассивном состоянии λP = 1/8760 час-1 (в среднем раз в год), интенсивность активации γN = 20 час-1 (в среднем три минуты) и интенсивность ремонта μN = 1/24 час-1 (в среднем одни сутки).

Рассчитаем показатели надежности мажоритарной вычислительной системы:

● По формуле 11 получаем коэффициент готовности: KF ≈ 0,999801.

● По формуле 12 получаем среднее время наработки на отказ: TF ≈ 60547 часов.

● По формуле 13 получаем среднее время восстановления: TR ≈ 12,058 часов.

Заключение

Таким образом, в рамках данной статьи автором рассмотрена модель надежности мажоритарной вычислительной системы с учетом конечного времени активации узлов, и различных интенсивностей отказов в активном и пассивном состояниях. Автором разработана модель надежности и выведены расчетные формулы показателей надежности для элемента с тремя состояниями. Далее модель и формулы обобщены для системы из множества идентичных и независимых элементов с тремя состояниями с заданным нижним порогом для числа активных элементов, при котором система считается работоспособной.

Наконец, обобщенная модель и формулы применены для частного случая мажоритарной вычислительной системы с тремя узлами. Также приведен пример расчета стационарного коэффициента готовности, среднего времени наработки на отказ и среднего времени восстановления мажоритарной вычислительной системы.

Полученные теоретические результаты использовались в многолетней практике эксплуатации, развития и проектирования систем хранения и обработки данных НИУ МЭИ (ТУ), Балаковской АЭС, ОАО «Красный Пролетарий» и ряда других предприятий.

Библиографическая ссылка