Научный журнал
Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований

ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,686

ВРАЩЕНИЕ ВЗВЕШЕННОГО ШАРА В НЕОДНОРОДНОМ ПОТОКЕ ЖИДКОСТИ

Павлов А.М. 2
2 РГП на ПХВ «Восточно-Казахстанский государственный университет имени С. Аманжолова» Министерства образования и науки Республики Казахстан
Задача, рассмотренная в статье, инициирована статьей Лесина В.И. и Лесина С.В. «Кластерная модель вязкости жидкости» [1]. В статье [1] вязкость жидкости увязывается с вращательным движением кластеров и по распадам в определенный момент времени. При этом считается, что угловая скорость вращения кластеров равна градиенту скорости. В данной статье решается задача о вращении шара, движущегося вместе с жидкостью, когда поток неоднородный. Невозмущенный поток в системе отсчета, связанной с центром шара, описывается уравнением: ϑ = Axj, где ось ОХ направлена от центра шара перпендикулярно скорости жидкости. Разыскивая решение в виде трех слагаемых: невозмущенная скорость ϑ0, слагаемое, представляющее градиент скалярной функции и слагаемое, представляющее собой вектор, убывающий на бесконечности, задачу удалось свести к решению уравнений Лапласа и Пуассона. Найденное решение поставленной задачи показывает, что угловая скорость вращения шара равна половине градиента скорости жидкости.
шар
вращение
возмущения
прилипание
компоненты скорости
1. Лесин В.И., Лесин С.В. Кластерная модель вязкости жидкости. // Труды института проблем нефти и газа РАН. РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, Москва.
2. Павлов А.М., Яламов Ю.И. Лекции по методам математической физики. Избранные вопросы математической физики. – М.: МОПИ им. Н.К. Крупской, 1990. – 176 с.

Пусть шар радиуса a находится в неоднородном потоке жидкости и двигается вместе с жидкостью. Поскольку шар увлекается жидкостью, то можно считать, что в системе отсчета центра шара скорость этого центра равна нулю. Тогда с одной стороны шара поток жидкости направлен вдоль оси y, а с другой стороны – против оси y (рис. 1). Вследствие малых размеров шара можно считать градиент скорости в масштабах шара малым.

Пусть градиент скорости равен pavl02.wmf вдали от шара. В плоскости yoz скорость частиц жидкости равна нулю. В этом случае невозмущенный поток можно представить равенством:

pavl03.wmf. (1)

Следовательно, поле скоростей на бесконечности в сферической системе координат представляется следующим образом:

pavl04.wmf;

pavl05.wmf; (2)

pavl06.wmf,

где угол ? отсчитывается от оси х, а угол ? – от оси z.

pavlov1.wmf

Рис. 1. Картина течения жидкости вокруг шара

Движение жидкости вокруг шара считается стационарным. Тогда уравнения движения жидкости с учетом малости скоростей будут иметь вид:

pavl07.wmf; (3)

pavl08.wmf,

где Р – давление в жидкости, ? – коэффициент вязкости жидкости.

Поле скоростей будем искать в виде:

pavl09.wmf. (4)

Здесь pavl10.wmf – скорость на бесконечности, скалярная функция ? и pavl11.wmf описывают возмущения, вносимые шаром, в движение жидкости. Так как pavl12.wmf и pavl13.wmf, то

pavl14.wmf.

Далее, поскольку

pavl15.wmf

и pavl16.wmf, а также положим pavl17.wmf, то pavl18.wmf и pavl19.wmf.

Таким образом, задача свелась к решению уравнений:

pavl20.wmf (5)

pavl21.wmf (6)

Граничные условия вытекают из предположения, что жидкость прилипает к поверхности шара, т.е.

pavl22.wmf (7)

Кроме того, на бесконечности возмущения должны исчезать:

pavl23.wmf.

Поскольку решается внешняя задача, то общее решение уравнения Лапласа можно записать в виде [2]:

pavl24.wmf.

Учитывая зависимость ?r и ?? от углов ? и ?, следует положить: r = 2, m = 2, т.е.

pavl25.wmf;

pavl26.wmf;

pavl27.wmf,

где P22 – присоединенный полином Лежандра.

Найдем divU. Учитывая, что

pavl28.wmf,

получили:

pavl29.wmf

pavl30.wmf. (8)

Здесь учтено, что P22 = 3sin2?.

Теперь необходимо решить уравнение (6) с учетом (8). Это есть уравнение Пуассона, типа pavl31.wmf, решение которого хорошо известно

pavl32.wmf.

pavlov2.wmf

Рис. 2. Расположение точки М и объема dV

Следовательно, решение уравнения (6) находится таким же образом:

pavl33.wmf, (9)

где pavl34.wmf – есть расстояние от объема dV до точки наблюдения M (рис. 2). Объем dV имеет координаты (r0?0?0), а точка M определяется координатами (r, ?, ?). Следовательно, pavl35.wmf, где ? – угол между r0 и r.

Следовательно, pavl36.wmf.

Представим pavl37.wmf в виде ряда по полиномам Лежандра:

pavl38.wmf.

Учитывая, что угол ? зависит от координат т. М и объема dV и теорему сложения для полиномов Лежандра, получаем:

pavl39.wmf.

Подставляя pavl40.wmf в уравнение (6), будем иметь:

pavl41.wmf

pavl42.wmf

pavl43.wmf

pavl44.wmf.

Вследствие ортогональности тригонометрических функций интегралы по ? не равны нулю только при k = 2. А при k = 2 имеем:

pavl45.wmf; pavl46.wmf;

pavl47.wmf; pavl48.wmf.

После взятия интегралов по ? получаем:

pavl49.wmf

pavl50.wmf.

Интегрирование по ? дает:

pavl51.wmf; pavl52.wmf.

Для интегрирования по r точку М выбираем достаточно близко к шару, поскольку возмущения наибольшие вблизи шара. Поэтому и проводится интегрирование по r0 от r до бесконечности. Тогда

pavl53.wmf.

Таким образом, окончательно имеем:

pavl54.wmf. (10)

Подставляя (10) в (4) и используя граничные условия (7), получаем:

pavl55.wmf. (11)

Отсюда для проекций вектора скорости получаем следующие выражения:

pavl56.wmf; pavl57.wmf;

pavl58.wmf или

pavl59.wmf. (12)

pavlov3.wmf

Рис. 3. К определению силы, вращающей шар

Поскольку при r = a U? = ?asin?, то из (12) следует, что угловая скорость вращения шара должна быть 0,5A:

pavl60.wmf. (13)

В статье [1] считается, что pavl61.wmf. Нетрудно понять, что угловая скорость шара была бы такой, если бы жидкость касалась шара только в узкой полосе при pavl62.wmf, а ? = 10 ° – 15 °. Но жидкость ударяется о шар и при других углах, где скорость жидкости не равна линейной скорости соответствующих точек поверхности шара.

В точке М касательная скорость равна Аxcos? а не Aa и, следовательно, здесь не жидкость раскручивает шар, а шар движет жидкость. Если найти силу, действующую на шар, то она будет иметь положительное направление до угла 45 °, а после – направлена отрицательно.

Выводы:

1. Взвешенный шар в неоднородном поле скоростей жидкости увлекается жидкостью и вращается вследствие наличия градиента скорости.

2. Угловая скорость вращения шара не равна градиенту скорости жидкости на бесконечности, а составляет половину градиента скорости.

3. Момент сил, действующих на шар со стороны жидкости равен нулю, что обеспечивает его стационарное вращение.

4. Задача будет использована для рассмотрения влияния вращения кластеров на вязкость жидкости.


Библиографическая ссылка

Павлов А.М., Павлов А.М. ВРАЩЕНИЕ ВЗВЕШЕННОГО ШАРА В НЕОДНОРОДНОМ ПОТОКЕ ЖИДКОСТИ // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2015. – № 12-9. – С. 1588-1591;
URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=8198 (дата обращения: 21.08.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.252