Научный журнал
Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований

ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,580

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ НАПРЯЖЕНИЙ В УПРУГОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ ПРИ ГОРИЗОНТАЛЬНОМ СОСРЕДОТОЧЕННОМ НЕСТАЦИОНАРНОМ ВОЗДЕЙСТВИИ ВОЗДУШНОЙ УДАРНОЙ ВОЛНЫ

Мусаев В.К. 1
1 Московский государственный машиностроительный университет (МГМУ)
Приводится информация о моделировании динамических напряжений в упругой полуплоскости при горизонтальном сосредоточенном нестационарном воздействии воздушной ударной волны. Для реализации поставленной задачи применяется численное моделирование. На основе метода конечных элементов в перемещениях разработаны методика, алгоритм и комплекс программ для решения линейных динамических задач теории упругости. Основные соотношения метода конечных элементов получены с помощью принципа возможных перемещений. Линейная динамическая задача с начальными и граничными условиями с помощью метода конечных элементов в перемещениях приведена к системе линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями. Задача с начальными условиями с помощью конечноэлементного варианта метода Галеркина приведена к явной двухслойной схеме. Решена задача о горизонтальном сосредоточенном воздействии воздушной ударной волны на упругую полуплоскость. Исследуемая расчетная область имеет 4008004 узловых точек. Решается система уравнений из 16032016 неизвестных. Приводится нормальное напряжение в девяти точках характерной области упругой полуплоскости.
вычислительный эксперимент
математическое моделирование
численный метод
алгоритм
комплекс программ
численный метод Мусаева В.К.
упругие волны
нестационарные волновые уравнения
динамика сплошных сред
конечноэлементный метод Галеркина
сосредоточенное воздействие
упругая полуплоскость
плоскость
воздушная деформируемая среда
твердая деформируемая среда
волны напряжений
1. Мусаев В.К. Численное решение некоторых задач безопасности жизнедеятельности с помощью метода конечных элементов // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия проблемы комплексной безопасности. – 2005. – № 1. – С. 17–23.
2. Мусаев В.К. Определение качества сооружений в детерминированной постановке с помощью математического мониторинга // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия проблемы комплексной безопасности. – 2005. – № 1. – С. 42–47.
3. Мусаев В.К. О моделировании сейсмических волновых процессов в подкрепленном круглом отверстии // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия проблемы комплексной безопасности. – 2006. – № 1. – С. 6–17.
4. Мусаев В.К. Метод конечных элементов в задаче об отражении плоских продольных волн напряжений в виде дельта функции от свободной поверхности // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия проблемы комплексной безопасности. – 2008. – № 1. – С. 43–51.
5. Мусаев В.К. О моделировании интерференции плоских продольных волн напряжений в виде дельта функции // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия проблемы комплексной безопасности. – 2008. – № 3. – С. 51–59.
6. Мусаев В.К. О моделировании безопасности технических объектов от взрывных воздействий // Стратегическая стабильность. – 2013. – № 1. – С. 69–72.
7. Мусаев В.К. О достоверности компьютерного моделирования нестационарных упругих волн напряжений в деформируемых телах сложной формы // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2014. – № 11. – С. 10–14.
8. Мусаев В.К. Оценка точности и достоверности численного моделирования при решении задач об отражении и интерференции нестационарных упругих волн напряжений // Успехи современного естествознания. – 2015. – № 1 (часть 7). – С. 1184–1187.
9. Мусаев В.К. Численное решение задачи о распространении нестационарных упругих волн напряжений в подкрепленном круглом отверстии // Современные наукоемкие технологии. – 2015. – № 2. – С. 93–97.
10. Мусаев В.К. Численное моделирование плоских продольных волн в виде импульсного воздействия (восходящая часть – четверть круга, средняя – горизонтальная, нисходящая – линейная) в упругой полуплоскости // Международный журнал экспериментального образования. – 2015. – № 11 (часть 2). – С. 222–226.

Для решения двумерной нестационарной динамической задачи математической теории упругости с начальными и граничными условиями используем метод конечных элементов в перемещениях.

Принимая во внимание определение матрицы жесткости, вектора инерции и вектора внешних сил для тела Г, записываем приближенное значение уравнения движения в теории упругости

mus01.wmf, mus02.wmf, mus03.wmf, (1)

где mus04.wmf – диагональная матрица инерции; mus05.wmf – матрица жесткости; mus06.wmf – вектор узловых упругих перемещений; mus07.wmf – вектор узловых упругих скоростей перемещений; mus08.wmf – вектор узловых упругих ускорений; mus09.wmf – вектор внешних узловых упругих сил.

Интегрируя уравнения (1) конечноэлементным вариантом метода Галеркина, получим явную двухслойную конечноэлементную линейную схему в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек

mus10.wmf,

mus11.wmf. (2)

Шаг по временной переменной координате ?t выбирается из следующего соотношения

mus12.wmf mus13.wmf, (3)

где ?l – длина стороны конечного элемента.

На основе метода конечных элементов в перемещениях разработана методика, разработан алгоритм и составлен комплекс программ для решения двумерных линейных и нелинейных задач при различных начальных и граничных условиях, для областей сложной формы. Комплексы программ написаны на алгоритмическом языке Фортран-90.

В работах [1–10] приведена некоторая информация о моделировании нестационарных упругих волн напряжений в деформируемых областях с помощью рассматриваемого численного метода.

Рассматриваемая проблема включает большой перечень фундаментальных и прикладных задач в области безопасности сложных технических объектов, которые необходимо решить. Одной из главных задач является определение нестационарных волновых напряжений в упругой полуплоскости при горизонтальном сосредоточенном воздействии. Применение моделей и методов волновой теории упругости позволит реализовать поставленную проблему.

Некоторая информация о физической достоверности и математической точности применяемого численного метода, алгоритма и комплекса программ приведена в следующих работах [3–5, 7–10].

Расчеты проводились при следующих единицах измерения: килограмм-сила (кгс); сантиметр (см); секунда (с). Для перехода в другие единицы измерения были приняты следующие допущения: 1 кгс/см2 ≈ 0,098 МПа; 1 кгс с2/см4 ≈ 0,98×109 кг/м3.

Рассмотрим задачу о горизонтальном сосредоточенном воздействии воздушной ударной волны (рис. 2) на упругую полуплоскость (рис. 1).

В точке D приложено нормальное воздействие σx, которое при 0 ≤ n ≤ 10 (mus14.wmf) изменяется от 0 до P, а при 11 ≤ n ≤ 30 равно P и при 31 ≤ n ≤ 40 изменяется от P до 0 (P = σ0, σ0 = 0,098 МПа (1 кгс/см2)). Принято следующее допущение: 1 кгс/см2 ≈ 0,098 МПа.

Граничные условия для контура ABCFGE при t > 0 mus17.wmf. Отраженные волны от контура ABCFGE не доходят до исследуемых точек при 0 ≤ n ≤ 500. На границе CDE приняты условия непрерывности перемещений.

Для воздушной деформируемой среды ABCDE приняты следующие исходные данные: mus18.wmf; ?t = 0,147×10-4 с; Ср = 340 м/с; ρ = 1,22 кг/м3 (1,245×10-9 кгс с2/см4). Принято следующее допущение: 1 кгс с2/см4 ≈ 0,98×109 кг/м3.

Для твердой деформируемой среды EDCFG приняты следующие исходные данные: mus19.wmf; ?t = 9,263×10-7 с; E = 6,958×104 МПа (7,1×105 кгс/см2); ν = 0,34; ρ = 2,7×103 кг/м3 (2,755×10-6 кгс с2/см4); Ср = 5398 м/с; Сs = 3078 м/с. Приняты следующие допущения: 1 кгс/см2 ≈ 0,098 МПа; 1 кгс с2/см4 ≈ 0,98×109 кг/м3.

В расчетах принимается минимальный шаг по времени, то есть ?t = 9,263×10-7.

mus1.tif

Рис. 1. Постановка задачи о горизонтальном сосредоточенном воздействии воздушной ударной волны на упругую полуплоскость

mus2.tif

Рис. 2. Ударное воздействие

mus3.tif

Рис. 3. Точки B1–B9, в которых получены упругие напряжения во времени

mus4.tif

Рис. 4. Изменение упругого нормального напряжения mus20.wmf во времени t/?t в точке B1

mus5.tif

Рис. 5. Изменение упругого нормального напряжения mus20.wmf во времени t/?t в точке B2

Исследуемая расчетная область имеет 4008004 узловых точек. Решается система уравнений из 16032016 неизвестных.

На рис. 4-12 представлено изменение упругого нормального напряжения mus29.wmf (mus30.wmf) во времени n в точках B1-B9, находящихся в упругой полуплоскости (рис. 3).

mus6.tif

Рис. 6. Изменение упругого нормального напряжения mus20.wmf во времени t/?t в точке B3

mus7.tif

Рис. 7. Изменение упругого нормального напряжения mus20.wmf во времени t/?t в точке B4

mus8.tif

Рис. 8. Изменение упругого нормального напряжения mus20.wmf во времени t/?t в точке B5

mus9.tif

Рис. 9. Изменение упругого нормального напряжения mus20.wmf во времени t/?t в точке B6

mus10.tif

Рис. 10. Изменение упругого нормального напряжения mus20.wmf во времени t/?t в точке B7

mus11.tif

Рис. 11. Изменение упругого нормального напряжения mus20.wmf во времени t/?t в точке B8

Выводы

1. Для прогноза безопасности уникальных сооружений, находящихся в воздушной и твердой деформируемой среде, при волновых воздействиях применяется численное моделирование.

mus12.tif

Рис. 12. Изменение упругого нормального напряжения mus20.wmf во времени t/?t в точке B9

2. На основе метода конечных элементов в перемещениях разработаны методика, алгоритм и комплекс программ для решения линейных двумерных плоских задач, которые позволяют решать сложные задачи при волновых воздействиях на сооружения.

3. Основные соотношения метода конечных элементов получены с помощью принципа возможных перемещений. Матрица упругости выражена через скорость продольных волн, скорость поперечных волн и плотность.

4. Исследуемая область разбивается по пространственным переменным на треугольные конечные элементы с тремя узловыми точками с линейной аппроксимацией упругих перемещений и на прямоугольные конечные элементы с четырьмя узловыми точками с билинейной аппроксимацией упругих перемещений.

5. По временной переменной исследуемая область разбивается на линейные конечные элементы с двумя узловыми точками с линейной аппроксимацией упругих перемещений.

6. За основные неизвестные приняты два перемещения и две скорости перемещений в узле конечного элемента.

7. Задачи решаются методом сквозного счета, без выделения разрывов. Применяется кусочно-линейная аппроксимация для уменьшения влияния разрывов на точность результатов численного решения, полученных с помощью метода конечных элементов в перемещениях.

8. Линейная динамическая задача с начальными и граничными условиями в виде дифференциальных уравнений в частных производных, для решения задач при волновых воздействиях, с помощью метода конечных элементов в перемещениях приведена к системе линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями, которая решается по явной двухслойной схеме.

9. Решена задача о горизонтальном сосредоточенном воздействии воздушной ударной волны на упругую полуплоскость. Исследуемая расчетная область имеет 4008004 узловых точек. Решается система уравнений из 16032016 неизвестных. Растягивающее упругое нормальное напряжение mus31.wmf в окрестности горизонтального сосредоточенного воздействия имеет следующее максимальное значение mus32.wmf. Сжимающее упругое нормальное напряжение mus33.wmf в окрестности горизонтального сосредоточенного воздействия имеет следующее максимальное значение mus34.wmf.

10. Полученные результаты можно оценить как первое приближение к решению сложной комплексной задачи о горизонтальном сосредоточенном воздействии воздушной ударной волны на упругую полуплоскость с помощью численного моделирования волновых уравнений теории упругости.


Библиографическая ссылка

Мусаев В.К. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ НАПРЯЖЕНИЙ В УПРУГОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ ПРИ ГОРИЗОНТАЛЬНОМ СОСРЕДОТОЧЕННОМ НЕСТАЦИОНАРНОМ ВОЗДЕЙСТВИИ ВОЗДУШНОЙ УДАРНОЙ ВОЛНЫ // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2016. – № 3-2. – С. 222-226;
URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=8705 (дата обращения: 26.09.2020).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074