Научный журнал
Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований

ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,580

НЕЛОКАЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СМЕШАННОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

Водахова В.А. 1 Тлупова Р.Г. 1 Эржибова Ф.А. 1 Болова Д.А. 1
1 Кабардино – Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова
Нагруженные уравнения в частных производных гиперболического, параболического, эллиптического и смешанного типов находят большое применение как метод математического моделирования нелокальных, в том числе фрактальных, процессов и явлений, и метод эффективного поиска приближенных решений дифференциальных уравнений. Математической основой физики фракталов, в особенности дробной динамики, стали нагруженные дифференциальные уравнения, демонстрирующие роль этих уравнений в различных отраслях современной науки, в частности, в математической биологии, физики, химии, инженерной технологии. Настоящая статья посвящена постановке и исследованию однозначной разрешимости одной нелокальной краевой задачи для смешанного нагруженного параболо – гиперболического уравнения третьего порядка. При доказательстве единственности решения поставленной задачи в работе рассматривается три случая: когда дискриминант характеристического уравнения S = 0, S > 0 и S < 0. В случае S = 0 приводится доказательство единственности решения поставленной задачи, а в случаях S > 0 и S < 0 доказательство проводится аналогично. Вопрос существования решения поставленной задачи редуцирован к вопросу разрешимости системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода относительно следа искомого решения, которая однозначно разрешима.
краевая задача
система интегральных уравнений Вольтерра второго рода, смешанное нагруженное уравнение
уравнение гиперболо – параболического типа
преобразование Лапласа
1. Водахова В.А. Нелокальная краевая задача для нагруженного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками. В сборнике: Математическое моделирование и краевые задачи. Труды четвертой Всероссийской научной конференции с международным участием. – 2007. – С. 57–60.
2. Водахова В.А. Об одной краевой задаче для уравнения третьего порядка с нелокальным условием А.М. Нахушева. // Дифференциальные уравнения, 1983. – Т. 19. № 1. – С. 163–166.
3. Водахова В.А., Гучаева З.Х. Задача Дирихле для смешанного параболо – гиперболического уравнения с разрывными коэффициентами. Успехи современного естествознания. – 2013. – № 11. – С. 136–140.
4. Водахова В.А., Гучаева З.Х. Нелокальная задача для нагруженного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками. Успехи современного естествознания. – 2014. – № 7. – С. 90–92.
5. Водахова В.А., Тлупова Р.Г., Шерметова М.Х. Внутреннекраевая задача для нагруженного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками. Успехи современного естествознания. – 2015. – № 1-1. – С. 71–75.
6. Езаова А.Г., Думаева Л.В. Об одной внутренне – краевой задаче для уравнения третьего порядка с группой младших членов. Фундаментальные исследования. – 2015. – № 2-27. – С. 6032–6036.
7. Нахушев А.М. Нагруженные уравнения и их приложения. / Научн. – исслед. инс – т прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН. – М.: Наука, 2012. – 232 с.
8. Нахушев А.М., Краевые задачи для нагруженных интегро- дифференциальных уравнений гиперболического типа и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влаги // Дифференциальные уравнения, 1979. – Т. 15. № 1. – С. 96–105.
9. Репин О.А., Кумыкова С.К. О задаче с обобщенными операторами дробного дифференцирования для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико – математические науки». – 2013. – № 1(30). – С. 150–158.
10. Репин О.А., Кумыкова С.К. Об одной нелокальной задаче для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками // Дифференциальные уравнения. – 2015. – Т. 51. № 6. – С. 755–763.

Нагруженным уравнением в частных производных второго порядка посвящены работы [1-10]. Общее определение этого широкого класса уравнений в частных производных было впервые дано А.М. Нахушевым в работах [7-8].

Многими авторами исследовались нелокальные краевые задачи для смешанных эллиптико – гиперболических и гиперболо – параболических уравнений второго порядка. Нелокальные краевые задачи для смешанного и смешанного нагруженного гиперболо – параболического типов уравнений более высокого порядка, то они остаются мало исследованными.

Цель работы состоит в постановке и исследовании однозначной разрешимости одной нелокальной краевой задачи для смешанного нагруженного уравнения третьего порядка.

Постановка задачи. Пусть Ω – конечная односвязная область, ограниченная отрезками AA0, А0B0, BB0 прямых x = 0, y = h, x = l соответственно, расположенных в полуплоскости y > 0, и характеристиками

AC:x + y = 0, BC:x – y = l

уравнения

vod01.wmf (1)

Ω1 – параболическая, а Ω2 – гиперболическая части области Ω.

Предполагается, что vod02.wmf – фиксированные точки из интервала (0, l), причем vod03.wmf

Задача. Найти функцию u(x, y) со следующими свойствами:

1) vod04a.wmf vod04b.wmf;

2) u(x, y) – регулярное решение уравнения (1) при y ≠ 0;

3) u(x, y) – удовлетворяет краевым условиям

vod05.wmf

vod06.wmf

где

vod07.wmf vod08.wmf

Переходя к пределу в уравнении (1) при y → + 0, получим функциональное соотношение между u(x, 0) = τ(x) и uy (x, 0) = v(x), принесенное из параболической части Ω1 на линию y = 0, в виде

vod09.wmf (4)

Общее решение уравнения (1) при y < 0 задается формулой

vod10.wmf (5)

где vod11.wmf

Удовлетворяя (5) краевым условиям (3), получим систему уравнений

vod12.wmf

Определим из второго уравнения системы ω(– x):

vod13.wmf

Интегрируя, получим

vod14.wmf

Отсюда, что то же самое

vod15.wmf

и, окончательно,

vod16.wmf

Подставляя ω(– x) в первое уравнение системы, найдем

vod17.wmf

или

vod18.wmf

Из (5) будем иметь

vod19.wmf

vod20.wmf

В результате несложных преобразований последнее принимает вид

vod21.wmf

vod22.wmf (6)

Дифференцируя (6) по x, а затем по y, и вычитая из первого соотношения второе и переходя к пределу при y → – 0, получим функциональное соотношение между τ(x) и v(x), принесенное из гиперболической части Ω2 на линию y = 0 в виде

vod23.wmf (7)

где

vod24.wmf

Исключая v(x) из (4) и (7), с учетом граничных условий (2), получим для определения τ(x) следующую задачу:

vod25.wmf (8)

vod26a.wmf

vod26b.wmf (9)

где vod27.wmf.

Характеристическое уравнение, соответствующее однородному уравнению

vod28.wmf (8')

имеет вид

vod29.wmf (10)

Введем обозначение vod30.wmf. Известно [2], что уравнение (10) имеет один действительный и два комплексно-сопряженных корня, если S > 0. Оно имеет три различных действительных корня, если S < 0. При S = 0 все три корня уравнения (10) действительны, причем два из них равны.

Пусть S = 0, т.е. vod32.wmf. В этом случае имеем, что

vod33.wmf

Так как общее решение уравнения (8') в этом случае имеет вид

vod35.wmf

методом вариации постоянных, находим общее решение уравнения (8) в виде

vod36.wmf

где vod37.wmf

vod38.wmf

причем, G(x), P(x),ρi – известные функции.

Полагая в равенстве (11) поочередно x = x1, x = x2,…, x = xn, получаем следующую систему алгебраических уравнений относительно τ(x),

vod39.wmf (12)

где vod40.wmf

При выполнении условия

vod41.wmf (13)

система (12) имеет единственное решение

vod42.wmf (14)

Таким образом, подставляя (14) в (11), находим единственное решение задачи (8), (9). Легко заметить, что τ(0) ≡ 0, если vod43.wmf.

После определения функции τ(x) мы приходим к задаче (2), u(x, 0) = τ(x) в области Ω1. Допустим, что однородная задача имеет нетривиальное решение v(x, y). Положим

vod44.wmf (15)

где λ, μ – некоторые постоянные. Для функции v(x, y) получим уравнение

vod45a.wmf

vod45b.wmf

vod45с.wmf

и краевые условия

vod47a.wmf

vod47b.wmf (16)

По предположению, в силу (15), эта задача имеет нетривиальное решение v(x, y).

Рассмотрим тождество

vod48a.wmf

vod48b.wmf

vod48c.wmf

Интегрируя это тождество по области Ω1 и учитывая однородные граничные условия (16) получим

vod50a.wmf

vod50b.wmf

vod50c.wmf (17)

Выберем λ и μ так, чтобы vod51.wmf При таком выборе λ и μ левая часть равенства (17) становится строго положительной, что невозможно, если v(x, y) ≠ 0. Отсюда следует, что v(xj, y) = 0. Отсюда будем иметь, что v(xj, y) ≡ 0 для всех vod52.wmf, и, согласно (15), u(x, y) ≡ 0 для всех vod53.wmf. В области Ω2 однородная задача v(x, 0) = 0, vod54.wmf для уравнения (1) при y < 0 имеет только тривиальное решение u(x, y) ≡ 0 для всех vod55.wmf. Следовательно, u(x, y) = 0 в Ω2.

Для доказательства существования решения поставленной задачи рассмотрено уравнение

vod56a.wmf

vod56b.wmf (18)

Доказано, что при

vod57.wmf

краевая задача

vod58.wmf (19)

имеет решение.

Существование решения задачи (18), (19) устанавливается с помощью преобразования Лапласа и сведением задачи к системе интегральных уравнений Вольтерра второго рода, относительно следа искомого решения, которая однозначно разрешима.


Библиографическая ссылка

Водахова В.А., Тлупова Р.Г., Эржибова Ф.А., Болова Д.А. НЕЛОКАЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СМЕШАННОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2016. – № 4-5. – С. 876-879;
URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=9093 (дата обращения: 24.06.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074