Научный журнал

Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований

ISSN 1996-3955

ИФ РИНЦ = 0,593

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Черкасов М.Ю. 1

---

1 Иркутск

Рассматривается гипотеза Гольдбаха, в результате анализа которой обнаружилось, что любое четное натуральное число представимо не только в виде суммы, но и в виде разности двух простых чисел. Как следствие гипотезы Гольдбаха можно получить оценку максимального расстояния между двумя соседними простыми числами, что является более точной формулировкой постулата Бертрана. Сама же гипотеза Гольдбаха является следствием более общей гипотезы – гипотезы о натуральных числах, в которой предполагается, что любое натуральное число представимо в виде определенной комбинации двух простых чисел. Рассматривается вопрос о применимости гипотезы о натуральных числах для нужд криптографии.

Статья в формате PDF

1428 KB

гипотеза Гольдбаха

постулат Бертрана

гипотеза о натуральных числах

криптография

1. Курант Р., Робинсон Г. Что такое математика? – Ижевск, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. – 592 с.

2. Чебышев П.Л. О простых числах. Полное собрание сочинений П.Л. Чебышева, том 1, М-Л: 1944. – С. 191–207.

3. Дориченко С.А., Ященко В.В. 25 этюдов о шифрах. – М.: ТЕИС, 1994. – 69 .

«Одной из основных задач теории чисел является поиск доказательства гипотезы Гольдбаха. Гольдбах (1690-1764) сам по себе не оставил никакого следа в истории математики: он прославился только проблемой, которую он предложил Эйлеру в письме, относящемся к 1742 г. Он обратил внимание на тот факт, что ему всегда удавалось представить любое четное число (кроме 2, которое само есть простое) в виде суммы двух простых. Например, 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 5 + 3, 10 = 5 + 6, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7, 16 = 13 + 3, 18 = 11 + 7, 20 = 13 + 7, … , 48 = 29 + 19, … , 100 = 97 + 3, и т.д. Гольдбах спрашивал у Эйлера, может ли он доказать, что такого рода представление возможно для всякого четного числа, или же напротив, сможет указать пример, опровергающий такое предположение. Эйлер так и не дал ответа; не дал его никто и в дальнейшем» [1, с. 58-59].

Поиск доказательства, конечно же, интересное и занимательное занятие, т.к. доказательство позволит на сто процентов быть уверенным в существовании этого удивительного свойства, но … не более того. Более важным, с точки зрения познания, представляется выявление причины его возникновения и анализ этой гипотезы с целью выяснения того, что она может дать для теории чисел, ведь гипотеза Гольдбаха не так проста, как кажется на первый взгляд.

Во-первых, гипотеза Гольдбаха позволяет установить максимальное расстояние между двумя соседними простыми числами:

Следствие гипотезы Гольдбаха. Для любого простого числа Pi следующее простое число Pi + 1 удовлетворяет условию: Pi + 1 < Pi + Pi-1.

Действительно, если бы число Pi + 1 не удовлетворяло указанному условию, тогда число 2N = Pi + Pi-1 + 2 невозможно представить в виде суммы двух простых, что противоречит гипотезе Гольдбаха.

Это свойство, в несколько иной трактовке, обнаружил Бертран, сформулировав его в виде постулата: для любого натурального числа N существует простое число P, удовлетворяющее условию N < P < 2N-2. Доказательство этого постулата было найдено П.Л. Чебышевым в 1859 году [2].

Во-вторых, любое четное натуральное число можно представить не только в виде суммы, но и в виде разности двух простых. Например: 2 = 1 + 1 = 3 – 1 = 5 – 3 = 7 – 5 = = …, 4 = 1 + 3 = 5 – 1 = 7 – 3 = 17 – 13 = …, 6 = 1 + 5 = 3 + 3 = 7 – 1 = 11 – 5 = 13 – 7 = …, 8 = 1 + 7 = 3 + 5 = 13 – 5 = 19 – 11 = … и т.д. В связи с этим гипотезу Гольдбаха можно обобщить:

Обобщенная гипотеза Гольдбаха. Любое четное натуральное число можно представить в виде: 2N = Pj ± Pi, где Pj > Pi – простые числа.

Так все-таки, в чем же кроется причина этого свойства? Чтобы разобраться в этом вопросе, напомним, что существуют так называемые простые числа-близнецы, т.е. простые числа p и q, удовлетворяющие условию: p-q = 2, также существуют двоюродные простые числа – p-q = 4 = 2*2, троюродные – p-q = 2*3, четвероюродные – p-q = 2*4 и т.д. Анализ вопроса о том, какие простые числа в каких «родственных отношениях» находятся между собой, позволил обнаружить, что ВСЕ простые числа, кроме двойки, являются в той или иной степени «братьями», т.е. каждое простое число является «братом» в какой-то мере всем другим простым числам. Это объясняется существованием чисел вида:

(*)

где Pj > Pi – простые числа, а число (Pj-Pi)/2 как раз и определяет степень родства, т.е. числа (*) находятся как раз посредине между Pi и Pj.

При рассмотрении выражения (*), возникает вопрос: какие натуральные числа представимы в таком виде? Проверка на первых пяти сотнях простых числах показала, что все натуральные числа представимы в таком виде. Поэтому, в качестве предположения, можно выдвинуть гипотезу:

Гипотеза  (гипотеза о натуральных числах). Любое натуральное число представимо в виде (*).

Умножив обе части выражения (*) на два, получим гипотезу Гольдбаха.

Верным также является и обратное утверждение, т.е.:

Если гипотеза Гольдбаха справедлива, то и гипотеза  – справедлива.

Действительно, если для любого натурального числа N справедливо утверждение, что 2N = Pi + Pj, где Pi<Pj – простые числа, тогда получим:

т.е. любое натуральное число представимо в виде (*), что говорит о равнозначности гипотезы Гольдбаха и гипотезы ?.

Выражение (*) можно несколько упростить, перенося Pi в левую часть и получая в левой части, пусть и меньшее, но все же натуральное число. В связи с этим, гипотезу  можно сформулировать следующим образом:

Упрощенная гипотеза . Любое натуральное число представимо в виде:

т.е. существуют пары простых чисел любой степени родства, так, среди первых 561 простых чисел 107 пар являются числами-близнецами, 208 – троюродных, а 105-юродных – 304.

Теперь, умножая обе части этого выражения на два, получим обобщение гипотезы Гольдбаха.

Гипотеза может представлять интерес для криптографии. В некоторых ассиметричных схемах шифрования в качестве основы открытого ключа используются числа, представляющие произведение двух очень больших простых чисел, а задача факторизации (разложение чисел на простые множители) представляет собой достаточно трудноразрешимую задачу по затратам времени. «В последние годы благодаря применению тонких методов теории чисел и алгебраической геометрии было разработано несколько эффективных алгоритмов факторизации <…> Среди последних достижений в этой области можно упомянуть об успехе Ленстры и Монасси, разложивших в июне 1990 года 155-разрядное число на три простых. Для этого они использовали 1 000 объединенных ЭВМ и шесть недель их машинного времени. Вычисления проводились с помощью алгоритма английского математика Дж. Полларда. Ленстра и Монасси считают, что в настоящее время (1991 г.) можно в течение года разложить новые классы целых чисел длиною до 155 разрядов, затратив на это 200 млн долларов» [3, с. 52-53]. Если в качестве основы открытого ключа использовать достаточно большое число, то количество вариантов разложение его по выражению (*) на два простых, будет существенно большим. Если же в выражении (*) дополнительно использовать ещё и отрицательные простые числа, то поиск секретного ключа становится теоретически неразрешимой задачей в силу бесконечности пар простых положительных и отрицательных чисел для представления любого числа. К примеру, число 5, с использованием только положительных простых чисел, можно представить единственным образом: 5 = 3 + (7-3)/2, тогда как при использовании еще и отрицательных простых чисел, получаем бесконечное множество представлений:

5 = – 1 + (11 – ( – 1))/2 = – 3 + (13 – – ( – 3))/2 = – 7 + (17 – ( – 7))/2 = – 13 + (23 – – ( – 13))/2 = – 19 + (29 – ( – 13))/2 = … и т.д. В качестве дополнительной меры секретности можно применять так называемое двойное кодирование, т.е. предварительно перед шифрованием каким-то образом перемешать символы исходного текста для того, чтобы в случае случайного использования секретного ключа, расшифрованный текст выглядел «абракадаброй».

Библиографическая ссылка