Научный журнал
Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований
ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,564

ОСНОВЫ МЕТОДИКИ ПРЕДУПРЕЖДЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОШИБОК, ВОЗНИКАЮЩИХ НА ОСНОВЕ НЕВЕРНОЙ АССОЦИАТИВНОЙ СВЯЗИ

Самсонов П.И.
Ассоциации в обучении играют очень важную роль. Достаточно вспомнить, что когда нужно запомнить какой-то фактический матери­ал или словарные слова, то взрослый, стремит­ся найти какую-то ассоциацию, опираясь на уже имеющийся опыт, школьнику же подсказывают, что можно запомнить по-другому, организовы­вая нужную ассоциацию за него.

Ученику начальной школы трудно дается запомнить написание слова медведь, в тетрад­ке появляются и мидведь, и мэдведь. Но сто­ит задать вопрос: «А что любит больше всего медведь?», как образовавшая ассоциация медведь - мёд, сразу же помогает запоминанию правильного написания этого словарного слова, знакомого ребенку с детства.

Интеллигент. Как только ни пишут это слово! Простой же вопрос: «ел ли интелли­гент?», позволяет не делать больше никаких уточнений и по написанию удвоенной буквы л, и с написанием букв е и и в нем. Ассоциация «окно» - для запоминания слов исключений с удвоенным написанием согласных -нн- в суф­фиксе прилагательных оловянный, деревянный, стеклянный, - это пожалуй самый известный пример использования учителем ассоциаций в обучении.

Но это примеры ассоциаций, которые об­разованны учителем специально и направлены на оказание практической помощи учащимся в запоминании правил или слов исключений. Од­нако существуют ассоциации, спонтанно обра­зующиеся в сознании ученика, коварство кото­рых заключено в том, что к ошибкам они ве­дут не непосредственно в ходе изучения темы, а намного позже.

Пожалуй, каждому учителю математики старших классов знакомы такие записи, выдава­емые за решение неравенства x2 < 4:

x2 < 4,

x ≤ ±2.

Ответ: x ≤ ±2.

Это и есть пример ошибки, полученной из-за образования неверной ассоциации.

Как же возникает такая ошибка? Ведь уче­ники, пришедшие в старшие классы, знакомы и с методом интервалов, и с графическим спосо­бом решения квадратичных неравенств с помо­щью параболы, а она все равно появилась.

Чтобы ответить на этот вопрос, необхо­димо вернуться в восьмой класс, где учащие­ся впервые знакомятся с алгоритмом решения неполных квадратных уравнений. Вот цепочка преобразований, которой сопровождается реше­ние уравнения x2 - 4 = 0:

x2 - 4 = 0,

x2 = 4,

x = ±2

Ответ: ±2.

Такие решения ученик может увидеть не только на классной доске, но и в некоторых по­собиях, и в жутком порождении современно­сти - в решебниках.

Придя в девятый класс и встретив нера­венство, даже уже познакомившись с методом интервалов, он движется все равно в том на­правлении, в котором «рука писать привыкла». Все это происходит из-за недостаточного внимания к построению выполняемых записей на доске, по невозможности спрогнозировать учителю появление впоследствии ошибок из­-за таких решений.

Как же предупредить появление таких ошибок? Ведь исправлять гораздо сложнее, чем учить!

Методика предупреждения таких оши­бок школьников в процессе изучения математи­ки, основана на том, что такие ошибки отсроче­ны по времени изучения данной темы и вклю­чает в себя:

  1. составление учителем «карты ошибок возникающих ассоциативно», по содержанию всего школьного курса математики;
  2. выделение фрагментов-образцов, ве­дущих впоследствии к образованию неверной ассоциативной связи, и их исключение;
  3. построение цепочек заданий, препят­ствующих образованию неверной ассоциатив­ной связи;
  4. формирование опережающей ассоциа­ции, в том случае, когда неверная ассоциативная связь уже образована

Раскроем некоторые из элементов этой методики. Фрагмент «карты ошибок, возникаю­щих ассоциативно»:

Ошибка

Ассоциативная связь

 

х2 < 4 ,

Образец решения неполных квадратных уравнений:

1.

х ≤±2.

x2 = 4.

 

Ответ: х < ±2.

x = ±2

2.

x/4 ≤9/x

х2 ≤ 36.

Правило «крест-накрест» для пропорций (эта же связь до­полнительно получает подкрепление на уроках химии).

3

(-3)+(-5)=8.

Хорошо запоминающаяся фраза «минус на минус дает плюс».

4

√х +11 = 1 - х

x2 - 3x - 10 = 0, х=5 или х= -2. В ответ ученик записывает число 5.

«Там, где корень, там не место отрицательным числам». Путаница между числом и значением выражения.

5

sin4x=4sinxcosx

Закрепление sin2x=2sinxcosx, без обобщения.

6

22 х-1 - 2х = 8, 22 х-1 - 2х = 23, 2 х -1 - х = 3, х = 4.

«Приравниваем показатели». Не произведено обобщение на уровне свойств функций, которые позволяют решать целый класс уравнений вида f(а) = f/(β), в случае если функция / монотонна.

7

log2 0,7; sin 4 - положи­тельные числа

«У отрицательного числа должен быть знак минус». Нет по­нимания того, что "минус" - это не только отрицательный, это - обозначение противоположного элемента.

Из карты можно увидеть что, например, успешность в решении иррациональных уравне­ний закладывается задолго до изучения самого алгоритма решения. Помимо чисто операционных навыков: умение равносильно переносить слагае­мые из одной части уравнения в другую, правиль­но возводить двучлены во вторую степень, решать квадратные уравнения, необходимо чтобы учащи­еся не путали понятия отрицательного числа и отрицательного значения выражения. В противном случае, как только появится отрицательное чис­ло, проверка полученных корней в уравнении-следствии станет формальной, поскольку срабо­тает ассоциация с тем, что «там, где знак радика­ла, там не место отрицательным числам».

В итоге, для данной темы, получает­ся комплексная методическая работа, которая определяет содержание урока:

во-первых, у учащихся, еще в курсе ал­гебры 7 и 8 классов, необходимо сформировать четкое представление о значении выражения и об области определения арифметического ква­дратного корня;

во-вторых, непосредственно при изуче­нии темы решение иррациональных уравнений необходимо построить такую цепочку упражне­ний, в которой была бы разрушена связь отрица­тельный корень - посторонний корень.

Для уроков в 8 классе подойдут такие задания:                                           

а)  дано выражение √5 - х , выберите те из чисел 3; -2; 7; -5; 9, при которых оно существует;

б) какие из чисел 5; -2; 3; -5, принадлежат области значений выражения 3-√х. в ходе их выполнения учащимся предстоит глубже разобраться в свойствах арифметического квадратного корня, что поможет им в освоении алгоритма решения иррациональных уравнений.

Последовательность упражнений для первого урока решения иррациональных урав­нений, составляется такой, чтобы в ней не встре­тилось в первых задачах сочетание корней раз­ных знаков у уравнения-следствия:

Покажем, на актуальном примере - мето­де декомпозиции решения неравенств, как рабо­тает представленная методика урока предупре­ждения ошибок в части выделения фрагментов-образцов, ведущих впоследствии к образова­нию неверной ассоциативной связи, и их исклю­чении.

Неравенство

с точки зрения предупреждения ошибок пред­ставляет собой очень поучительный пример.

Действительно, преобразование исходно­го неравенства к неравенству

является несложным и основано на простых и хорошо известных свойствах логарифма и определения а-1 = 1/a. Следующий же шаг может а быть ошибочным, так переход к неравенству

при x > 1, является неравносильным, поскольку

Но и преобразование к неравенству

в силу возникающей неверной ассоциации 3Har(l0gab-l0gac-l0gad)=3HaK[a-1)(b-c-d), идущей от формального запоминания «секретных прие­мов», не имеющих должного обоснования, как это делалось ранее в математических и физико-математических классах, может послужить впо­следствии шагом к неверному  переходу

Правильное и акцентированное реше­ние позволит сосредоточить внимание учащих­ся на верном применении свойства знак(logab-logac)≡знак(a-1)(b-c), что определяет выполне­ние пункта 20 предложенной методики преду­преждения ошибок, вызванных ассоциативной связью.

 

Необходимо обратить так же внимание на то, что при применении метода декомпози­ции неравенств следует полностью учитывать все неравенства-ограничения на область опре­деления соответствующих выражений. В то же время, при применении метода решения нера­венств, основанного на использовании свойств монотонности соответствующих функций, этого можно избежать и потому, в таком случае, реше­ние может быть существенно более простым.

Умение строить урок предупреждая появ­ление ошибок, особенно из-за возникающей не­верной ассоциативной связи, ведение учителем соответствующей поисковой деятельности пре­допределяет повышение методической грамот­ности педагога, позволяет ему существенным образом оптимизировать учебный процесс, сни­зить затраты учебного времени на вынужден­ную необходимость исправления ошибок иду­щих не от «старых недоработок», а из-за невер­ных ассоциаций. В конечном итоге, предупре­ждать ошибки, а не корректировать их, это по­истине высокое учительское мастерство, кото­рое закладывается не только кропотливым тру­дом, но и желанием работать на развитие, опре­деляет индивидуальный почерк учителя.


Библиографическая ссылка

Самсонов П.И. ОСНОВЫ МЕТОДИКИ ПРЕДУПРЕЖДЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОШИБОК, ВОЗНИКАЮЩИХ НА ОСНОВЕ НЕВЕРНОЙ АССОЦИАТИВНОЙ СВЯЗИ // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2010. – № 12. – С. 75-78;
URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=997 (дата обращения: 24.09.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074